Questão 4)
Um jovem monta um experimento de fenda dupla e testa ele com um laser monocromático vermelho (
), obtendo
para os máximos de primeira, segunda e terceira ordem.
Ele então coloca uma luz de composição desconhecida no equipamento obtendo
e
para os quatro primeiros máximos. Determine os respectivos comprimentos de onda e/ou as ordens desses máximos.
Passo 1
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
- Fonte 1 (laser vermelho):
. - Para essa fonte vermelha foram medidos os máximos:
-
, -
, -
.
-
- Fonte 2 (composta, desconhecida): foram medidos os primeiros quatro máximos:
-
, -
, -
, -
.
-
O que se pede:
- Determinar as ordens
correspondentes a cada máximo medido para a fonte desconhecida e/ou os comprimentos de onda desses máximos.
Passo 2
Princípio e fórmula que vamos usar (explicação didática, sem pular passos):
- Em um arranjo de dupla fenda, os máximos de interferência satisfazem a condição
onde
-
é a separação entre as fendas, -
é o ângulo, medido a partir do centro, até o máximo de ordem , -
é um inteiro positivo (ordem do máximo), -
é o comprimento de onda da luz. -
Geometricamente, na tela a uma distância
das fendas, a posição vertical do máximo de ordem satisfaz . Para ângulos pequenos (situação usual em laboratórios), e então
- Portanto, no regime de pequenos ângulos temos a relação linear prática
Aqui
é uma constante do aparelho (distância de tela dividida pela separação das fendas). Na prática, ela pode ser obtida usando a fonte conhecida (laser vermelho).
Passo 3
Determinar a constante do aparelho
usando os dados do laser vermelho (passo a passo):
- Para o laser vermelho, o máximo de ordem
tem . Pela fórmula linear:
- Isolando
:
- Substituindo unidades (converta tudo para metros):
- Cálculo (mostrando a ideia de forma prática, mas evitando números gigantes): é mais simples usar a razão direta entre medidas do experimento:
- Como
, isso dá
(usar esse valor apenas como constante do aparelho; a forma exata não é necessária, porque abaixo vamos cancelar essa constante usando a razão entre
e
.)
Passo 4
Verificação rápida da aproximação linear com os dados do laser vermelho (porque é importante saber se podemos usar a relação
):
- Calcular as razões:
- As posições crescem praticamente como
, logo a aproximação de ângulo pequeno e a relação linear são válidas aqui. Podemos, então, usar a proporção direta entre , e .
Passo 5
Fórmula prática para obter
de uma linha desconhecida a partir dos dados conhecidos:
- A relação geral era
. Como , substituindo obtemos a fórmula conveniente
- Essa fórmula diz: para cada máximo medido
e uma hipótese de ordem , calcula-se . O valor de deve ser inteiro. Na prática escolhe-se (1, 2, …) até obter um razoável (por exemplo na faixa visível, se houver motivo) e, quando vários pontos forem consistentes, confirma-se a escolha.
Passo 6
Aplicar a fórmula ao primeiro máximo desconhecido
.
- Usando
e testando
(hipótese mais natural para o primeiro máximo),
- Calculando:
- Interpretação: para
obtemos (azul). Se tentássemos obteríamos metade desse comprimento de onda (≈224 nm, ultravioleta), muito menos plausível como componente visível. Portanto é razoável aceitar para e .
Passo 7
Aplicar ao segundo máximo
.
- Testando
(hipótese natural para o segundo máximo mais próximo do centro),
- Calculando:
- Interpretação: para
obtemos (verde). Se tentássemos obteríamos ≈265 nm (UV) — menos plausível. Então é bem interpretado como de uma linha de aproximadamente .
Passo 8
Usar os máximos
e
para confirmar ordens e comprimentos de onda (buscando consistência).
- Observe as razões numéricas:
-
. Isso sugere que é o segundo máximo ( ) da mesma linha que produz (pois ). -
. Isso sugere que é o segundo máximo ( ) da mesma linha que produz .
-
- Calculemos confirmando com a fórmula:
Para
, testar
:
que coincide com o valor obtido para
. Logo
é o máximo de ordem
da linha
.
Para
, testar
:
que coincide com o valor obtido para
. Logo
é o máximo de ordem
da linha
.
Passo 9
Interpretação final (didática e motivadora):
- Os quatro máximos medidos para a fonte desconhecida correspondem, na verdade, a duas linhas espectrais diferentes, cada uma aparecendo com ordens
e . - A consistência numérica (razões 2 entre pares
e ) e os cálculos de confirmam essa identificação. Portanto os valores calculados são confiáveis dentro da aproximação de ângulo pequeno usada.