Questão 4) (2,5) Um jovem monta um experimento de fenda dupla e testa ele com um laser monocromático vermelho ( \lambda=633 \mathrm{~nm} ), obtendo h_{1}=3,8 \mathrm{~mm}, h_{2}=7,60 \mathrm{~mm}, h_{3}= 11,4 \mathrm{~mm} para os máximos de primeira, segunda e terceira ordem.
Ele então coloca uma luz de composição desconhecida no equipamento obtendo h_{1}= 2,7 \mathrm{~mm}, h_{2}=3,19 \mathrm{~mm}, h_{3}=5,4 \mathrm{~mm} e h_{4}=6,38 \mathrm{~mm} para os quatro primeiros máximos. Determine os respectivos comprimentos de onda e/ou as ordens desses máximos.

Passo 1

Dados fornecidos (copiados do enunciado):
  • Fonte 1 (laser vermelho): \lambda_{\text{vermelho}}=633\\ \mathrm{nm}.
  • Para essa fonte vermelha foram medidos os máximos:
    • h_1^{(\text{vermelho})}=3,8\\ \mathrm{mm},
    • h_2^{(\text{vermelho})}=7,60\\ \mathrm{mm},
    • h_3^{(\text{vermelho})}=11,4\\ \mathrm{mm}.
  • Fonte 2 (composta, desconhecida): foram medidos os primeiros quatro máximos:
    • h_1=2,7\\ \mathrm{mm},
    • h_2=3,19\\ \mathrm{mm},
    • h_3=5,4\\ \mathrm{mm},
    • h_4=6,38\\ \mathrm{mm}.
O que se pede:
  • Determinar as ordens m correspondentes a cada máximo medido para a fonte desconhecida e/ou os comprimentos de onda \lambda desses máximos.

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (explicação didática, sem pular passos):
  • Em um arranjo de dupla fenda, os máximos de interferência satisfazem a condição
d\sin\theta = m\lambda,
onde
  • d é a separação entre as fendas,
  • \theta é o ângulo, medido a partir do centro, até o máximo de ordem m,
  • m é um inteiro positivo 1,2,3,\dots (ordem do máximo),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.
  • Geometricamente, na tela a uma distância L das fendas, a posição vertical y_m do máximo de ordem m satisfaz \tan\theta = y_m/L. Para ângulos pequenos (situação usual em laboratórios), \sin\theta\approx\tan\theta\approx \theta e então
y_m \approx L\sin\theta = L\frac{m\lambda}{d}.
  • Portanto, no regime de pequenos ângulos temos a relação linear prática
y_m \approx m\left(\frac{L}{d}\right)\lambda.
Aqui \dfrac{L}{d} é uma constante do aparelho (distância de tela dividida pela separação das fendas). Na prática, ela pode ser obtida usando a fonte conhecida (laser vermelho).

Passo 3

Determinar a constante do aparelho \dfrac{L}{d} usando os dados do laser vermelho (passo a passo):
  • Para o laser vermelho, o máximo de ordem m=1 tem y_1^{(\text{vermelho})}=3,8\\ \mathrm{mm}. Pela fórmula linear:
y_1^{(\text{vermelho})} \approx \left(\frac{L}{d}\right)\lambda_{\text{vermelho}}.
  • Isolando \dfrac{L}{d}:
\frac{L}{d} \approx \frac{y_1^{(\text{vermelho})}}{\lambda_{\text{vermelho}}}.
  • Substituindo unidades (converta tudo para metros):
y_1^{(\text{vermelho})}=3,8\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad \lambda_{\text{vermelho}}=633\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Cálculo (mostrando a ideia de forma prática, mas evitando números gigantes): é mais simples usar a razão direta entre medidas do experimento:
\frac{L}{d} \approx \frac{3,8\\ \mathrm{mm}}{633\\ \mathrm{nm}}.
  • Como 1\\ \mathrm{mm}=10^{6}\\ \mathrm{nm}, isso dá
\frac{L}{d} \approx \frac{3,8}{633}\times10^{3} \approx 6003{,} \quad(\text{unidade } \mathrm{m/m},\text{ sem dimensão}).ã
(usar esse valor apenas como constante do aparelho; a forma exata não é necessária, porque abaixo vamos cancelar essa constante usando a razão entre y e y_1^{(\text{vermelho})}.)

Passo 4

Verificação rápida da aproximação linear com os dados do laser vermelho (porque é importante saber se podemos usar a relação y\propto m):
  • Calcular as razões:
\frac{h_2^{(\text{vermelho})}}{h_1^{(\text{vermelho})}}=\frac{7,60}{3,8}=2{,}0, \qquad \frac{h_3^{(\text{vermelho})}}{h_1^{(\text{vermelho})}}=\frac{11,4}{3,8}=3{,}0.
  • As posições crescem praticamente como 1,2,3, logo a aproximação de ângulo pequeno e a relação linear são válidas aqui. Podemos, então, usar a proporção direta entre y, m e \lambda.

Passo 5

Fórmula prática para obter \lambda de uma linha desconhecida a partir dos dados conhecidos:
  • A relação geral era y_m \approx m\left(\dfrac{L}{d}\right)\lambda. Como \dfrac{L}{d}=\dfrac{y_1^{(\text{vermelho})}}{\lambda_{\text{vermelho}}}, substituindo obtemos a fórmula conveniente
\lambda \approx \frac{y_m}{m}\cdot\frac{\lambda_{\text{vermelho}}}{y_1^{(\text{vermelho})}}.
  • Essa fórmula diz: para cada máximo medido y_m e uma hipótese de ordem m, calcula-se \lambda. O valor de m deve ser inteiro. Na prática escolhe-se m (1, 2, …) até obter um \lambda razoável (por exemplo na faixa visível, se houver motivo) e, quando vários pontos forem consistentes, confirma-se a escolha.

Passo 6

Aplicar a fórmula ao primeiro máximo desconhecido h_1=2,7\\ \mathrm{mm}.
  • Usando
\lambda \approx \frac{h_1}{m}\cdot\frac{\lambda_{\text{vermelho}}}{h_1^{(\text{vermelho})}}
e testando m=1 (hipótese mais natural para o primeiro máximo),
\lambda \approx \frac{2,7}{1}\cdot\frac{633}{3,8}\\ \mathrm{nm}.
  • Calculando:
\frac{2,7}{3,8}\approx0{,}710526,\quad \lambda\approx0{,}710526\times633\\ \mathrm{nm}\approx449{,}3\\ \mathrm{nm}.
  • Interpretação: para m=1 obtemos \lambda\approx449{,}3\\ \mathrm{nm} (azul). Se tentássemos m=2 obteríamos metade desse comprimento de onda (≈224 nm, ultravioleta), muito menos plausível como componente visível. Portanto é razoável aceitar m=1 para h_1 e \lambda\approx449{,}3\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Aplicar ao segundo máximo h_2=3,19\\ \mathrm{mm}.
  • Testando m=1 (hipótese natural para o segundo máximo mais próximo do centro),
\lambda \approx \frac{3,19}{1}\cdot\frac{633}{3,8}\\ \mathrm{nm}.
  • Calculando:
\frac{3,19}{3,8}\approx0{,}839474,\quad \lambda\approx0{,}839474\times633\\ \mathrm{nm}\approx531{,}2\\ \mathrm{nm}.
  • Interpretação: para m=1 obtemos \lambda\approx531{,}2\\ \mathrm{nm} (verde). Se tentássemos m=2 obteríamos ≈265 nm (UV) — menos plausível. Então h_2 é bem interpretado como m=1 de uma linha de aproximadamente 531{,}2\\ \mathrm{nm}.

Passo 8

Usar os máximos h_3 e h_4 para confirmar ordens e comprimentos de onda (buscando consistência).
  • Observe as razões numéricas:
    • \dfrac{h_3}{h_1}=\dfrac{5,4}{2,7}=2. Isso sugere que h_3 é o segundo máximo ( m=2) da mesma linha que produz h_1 (pois y\propto m).
    • \dfrac{h_4}{h_2}=\dfrac{6,38}{3,19}=2. Isso sugere que h_4 é o segundo máximo ( m=2) da mesma linha que produz h_2.
  • Calculemos confirmando com a fórmula:
Para h_3=5,4\\ \mathrm{mm}, testar m=2:
\lambda \approx \frac{5,4}{2}\cdot\frac{633}{3,8}\\ \mathrm{nm}= \frac{2,7}{1}\cdot\frac{633}{3,8}\\ \mathrm{nm}\approx449{,}3\\ \mathrm{nm},
que coincide com o valor obtido para h_1. Logo h_3 é o máximo de ordem m=2 da linha \lambda\approx449{,}3\\ \mathrm{nm}.
Para h_4=6,38\\ \mathrm{mm}, testar m=2:
\lambda \approx \frac{6,38}{2}\cdot\frac{633}{3,8}\\ \mathrm{nm}= \frac{3,19}{1}\cdot\frac{633}{3,8}\\ \mathrm{nm}\approx531{,}2\\ \mathrm{nm},
que coincide com o valor obtido para h_2. Logo h_4 é o máximo de ordem m=2 da linha \lambda\approx531{,}2\\ \mathrm{nm}.

Passo 9

Interpretação final (didática e motivadora):
  • Os quatro máximos medidos para a fonte desconhecida correspondem, na verdade, a duas linhas espectrais diferentes, cada uma aparecendo com ordens m=1 e m=2.
  • A consistência numérica (razões 2 entre pares h_3/h_1 e h_4/h_2) e os cálculos de \lambda confirmam essa identificação. Portanto os valores calculados são confiáveis dentro da aproximação de ângulo pequeno usada.

Resposta

h_1=2,7\\ \mathrm{mm}: m=1,\\ \lambda\approx449{,}3\\ \mathrm{nm}
h_2=3,19\\ \mathrm{mm}: m=1,\\ \lambda\approx531{,}2\\ \mathrm{nm}
h_3=5,4\\ \mathrm{mm}: m=2,\\ \lambda\approx449{,}3\\ \mathrm{nm}
h_4=6,38\\ \mathrm{mm}: m=2,\\ \lambda\approx531{,}2\\ \mathrm{nm}

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