Dada uma função
definimos o laplaciano de
como sendo
onde
é o gradiente de
. Se o laplaciano é igual a zero dizemos que
é harmônica, se
(resp.
) dizemos que
é superharmônica (resp. subharmônica). Se
então podemos afirmar que
é:
a. Harmônica.
b. Superharmônica.
c. Não pode se determinar se a função é ou não é harmônica.
d. Nenhuma das outras alternativas.
e. Subharmônica.
a. Harmônica.
b. Superharmônica.
c. Não pode se determinar se a função é ou não é harmônica.
d. Nenhuma das outras alternativas.
e. Subharmônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre funções harmônicas, superharmônicas e subharmônicas. A gente tem uma função
e queremos descobrir se ela é harmônica, superharmônica, subharmônica ou nenhuma das opções. Para isso, vamos calcular o laplaciano da função, que é uma combinação das segundas derivadas parciais em relação a
e
. Se o laplaciano for zero, a função é harmônica; se for positiva, é superharmônica; se for negativa, é subharmônica.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e a
. Vamos calcular:
Vamos derivar
em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o laplaciano de
, que é a soma das derivadas parciais segundas:
Primeiro, a segunda derivada de
em relação a
:
Depois, a segunda derivada de
em relação a
:
Somando as duas:
Passo 5
Agora que temos o laplaciano
, vamos analisar seu sinal:
- Se
, é harmônica. - Se
, é superharmônica. - Se
, é subharmônica.
Como
, o sinal depende dos valores de
e
:
- Para
, → superharmônica. - Para
, → subharmônica. - Para
, → harmônica.
Como a função pode ser superharmônica, subharmônica ou harmônica dependendo dos valores de
e
, e não há informação adicional sobre o domínio, não podemos determinar uma classificação única.
Resposta
c. Não pode se determinar se a função é ou não é harmônica.