Dada uma função f: D subset R^2 R definimos o laplaciano de f como sendo lap(f):=div(nabla f) onde nabla f é o gradiente de f. Se o laplaciano é igual a zero dizemos que f é harmônica, se lap(f)>0 (resp. lap(f)<0 ) dizemos que f é superharmônica (resp. subharmônica). Se f(x, y)=-e^y cos (x)+2 x^3+2 y^3 então podemos afirmar que f é:
a. Harmônica.
b. Superharmônica.
c. Não pode se determinar se a função é ou não é harmônica.
d. Nenhuma das outras alternativas.
e. Subharmônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre funções harmônicas, superharmônicas e subharmônicas. A gente tem uma função e queremos descobrir se ela é harmônica, superharmônica, subharmônica ou nenhuma das opções. Para isso, vamos calcular o laplaciano da função, que é uma combinação das segundas derivadas parciais em relação a e . Se o laplaciano for zero, a função é harmônica; se for positiva, é superharmônica; se for negativa, é subharmônica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e a . Vamos calcular:
Vamos derivar em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( -e^y cos(x) + 2x^3 + 2 y^3 ) = e^y sin(x) + 6x^2 em relação a partial fpartial y = partialpartial y ( -e^y cos(x) + 2x^3 + 2 y^3 ) = -e^y cos(x) + 6y^2 :
nabla f = ( e^y sin(x) + 6x^2, -e^y cos(x) + 6y^2 )
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o laplaciano de lap(f) = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 , que é a soma das derivadas parciais segundas:
partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( e^y sin(x) + 6x^2 ) = e^y cos(x) + 12x
Primeiro, a segunda derivada de partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y ( -e^y cos(x) + 6y^2 ) = -e^y cos(x) + 12y em relação a lap(f) = ( e^y cos(x) + 12x ) + ( -e^y cos(x) + 12y ) = 12x + 12y = 12(x + y) :
Depois, a segunda derivada de em relação a :
Somando as duas:

Passo 5

Agora que temos o laplaciano , vamos analisar seu sinal:
  • Se , é harmônica.
  • Se , é superharmônica.
  • Se , é subharmônica.
Como , o sinal depende dos valores de e :
  • Para , → superharmônica.
  • Para , → subharmônica.
  • Para , → harmônica.
Como a função pode ser superharmônica, subharmônica ou harmônica dependendo dos valores de e , e não há informação adicional sobre o domínio, não podemos determinar uma classificação única.

Resposta

c. Não pode se determinar se a função é ou não é harmônica.

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