Reparametrize a hélice circular
pelo comprimento de arco.
Passo 1
A questão pede para reparametrizar a hélice circular
F(t) = (cos t, sen t, t), t ≥ 0, de modo que o parâmetro seja o comprimento de arco. O conteúdo aqui é parametrização pelo comprimento de arco, e vamos precisar usar a definição de comprimento de arco para curvas no espaço.
F(t) = (cos t, sen t, t), t ≥ 0, de modo que o parâmetro seja o comprimento de arco. O conteúdo aqui é parametrização pelo comprimento de arco, e vamos precisar usar a definição de comprimento de arco para curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada da curva e sua norma para obter a velocidade. Temos
Logo, a norma da velocidade é
Passo 3
Em seguida, definimos o comprimento de arco s a partir de t=0 até t, usando
Passo 4
Agora, invertemos essa relação para escrever t em função de s. Da equação s = \sqrt{2},t, obtemos
Passo 5
Por fim, substituímos t(s) de volta na parametrização original para obter a curva de velocidade unitária. Assim,
Resposta
A reparametrização pelo comprimento de arco é