Reparametrize a hélice circular
F(t)=(cos t, sen t, t), t >= 0
pelo comprimento de arco.

Passo 1

A questão pede para reparametrizar a hélice circular
F(t) = (cos t, sen t, t), t ≥ 0, de modo que o parâmetro seja o comprimento de arco. O conteúdo aqui é parametrização pelo comprimento de arco, e vamos precisar usar a definição de comprimento de arco para curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada da curva e sua norma para obter a velocidade. Temos
F'(t) = (-sin t, cos t, 1)
Logo, a norma da velocidade é
|F'(t)| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + 1^2 = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 = raiz2

Passo 3

Em seguida, definimos o comprimento de arco s a partir de t=0 até t, usando
s(t) = integral0^t |F'(u)|,du = integral0^t raiz2,du = raiz2,t

Passo 4

Agora, invertemos essa relação para escrever t em função de s. Da equação s = \sqrt{2},t, obtemos
t = sraiz2

Passo 5

Por fim, substituímos t(s) de volta na parametrização original para obter a curva de velocidade unitária. Assim,
r(s) = Fl(t(s)r) = l(cosl(tfracsraiz2r),;sinl(tfracsraiz2r),;tfracsraiz2r), s>=0

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco é
r(s)=l(cosl(tfracsraiz2r),;sinl(tfracsraiz2r),;tfracsraiz2r), s>=0

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