Dada a função velocidade de uma partícula que se move em linha reta, encontre o deslocamento e a distância percorrida pela partícula durante o intervalo dado.
v(t)=t^2-2 t-3, 2 <= t <= 4

Passo 1

O enunciado diz que a partícula tem velocidade v(t)=t^2-2t-3 para 2<= t<=4, e a gente quer o deslocamento (integração direta da velocidade) e a distância total (integração do valor absoluto de v(t)).

Passo 2

Primeiro, achamos o antiderivado de v(t). Como v(t)=t^2-2t-3, um primitivo é
F(t)=integral v(t),dt=integral(t^2-2t-3),dt=t^33-t^2-3t

Passo 3

Para o deslocamento basta calcular F(4)-F(2):
F(4)=4^33-4^2-3cdot4=643-16-12=64-843=-203
F(2)=2^33-2^2-3cdot2=83-4-6=8-303=-223
Logo o deslocamento é
De

Passo 4

Para a distância percorrida, identificamos onde v(t)=0. Fatorando,
v(t)=t^2-2t-3=(t-3)(t+1)
no intervalo de interesse [2,4] só temos raiz em t=3, onde v muda de sinal (negativa de 2 a 3 e positiva de 3 a 4). Então
distância=integral2^3[-v(t)],dt+integral3^4v(t),dtâ

Passo 5

Usando o mesmo primitivo F(t):
integral2^3[-v(t)],dt=l[-F(t)r]2^3=-F(3)+F(2)= -l(-9r)+l(-tfrac223r)=9-tfrac223=tfrac53
integral3^4v(t),dt=F(4)-F(3)=-tfrac203-(-9)= -tfrac203+tfrac273=tfrac73
Somando as duas partes dá a distância total
tfrac53+tfrac73=tfrac123=4

Resposta

O deslocamento é 2/3 e a distância percorrida é 4.

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