Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral dada.
integral0^3 pi / 2|sen(x)| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^3pi/2 |sen(x)|,dx. O conteúdo é integração de função de valor absoluto e vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Para aplicar, precisamos identificar onde sen(x) muda de sinal.

Passo 2

A função sen(x) é positiva em [0,pi] e negativa em [pi,3pi/2]. Esses pontos de mudança ocorrem quando sen(x)=0, ou seja, em x=0,pi,2pi.

Passo 3

Podemos então escrever a integral como soma de duas partes, trocando o sinal onde for necessário:
integral0^3pi/2 |sen(x)|,dx = integral0^pi sen(x),dx + integralpi^3pi/2 l(-sen(x)r),dx

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Uma primitiva de sen(x) é -cos(x) e de -sen(x) é cos(x). Calculando cada parte:
integral0^pi sen(x),dx = l[-cos(x)r]0^pi = l(-cos(pi)r) - l(-cos(0)r) = -(-1) - ( -1 ) = 2,

Passo 5

integralpi^3pi/2 l(-sen(x)r),dx = l[cos(x)r]pi^3pi/2 = cosl(3pi/2r) - cos(pi) = 0 - (-1) = 1

Passo 6

Somando as duas parcelas, obtemos a integral completa.

Resposta

3

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