Dada a função vetorial F(x, y)=(2 x-y, x+3 y) e a curva C parametrizada por r(t)=(t, t^2), onde t varia de 0 a 1 , calcule a integral de linha integralC F cdot d r.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial seguindo uma curva. O conteúdo aqui é integrais de linha de campos vetoriais e vamos precisar usar parametrização, derivada da curva e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada da parametrização
r(t) = (t, t^2)
que fica
r'(t) = (1, 2t)
Essa derivada indica a direção e velocidade com que percorremos a curva.

Passo 3

Agora, substituímos a curva no campo vetorial para obter
F(r(t)) = (2x - y, x + 3y)|(x,y)=(t, t^2) = (2t - t^2, t + 3t^2)

Passo 4

Em seguida, fazemos o produto escalar entre F(r(t)) e r'(t) para achar o integrando:
F(r(t)) cdot r'(t) = (2t - t^2)cdot 1 + (t + 3t^2)cdot (2t) = 2t - t^2 + 2t^2 + 6t^3 = 2t + t^2 + 6t^3

Passo 5

Por fim, integramos o resultado de t=0 até t=1:
integral0^1 (2t + t^2 + 6t^3),dt = l[t^2 + tfract^33 + tfrac6t^44r]0^1 = 1 + tfrac13 + tfrac32 = tfrac176

Resposta

17/6

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