Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
f(x)=ln (1+2 x)

Passo 1

Temos a função f(x)=ln(1+2x). O conteúdo aqui é a expansão em série de Maclaurin de ln(1+u) ao redor de u=0, e vamos usar essa série conhecida para escrever ln(1+2x) como soma de potências de x e depois determinar o raio de convergência.

Passo 2

Sabemos que a expansão de Maclaurin de ln(1+u) é válida para |u|<1 e dada por
[\nln(1+u)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{u^n}{n},\quad |u|<1
],
o que nos dá o modelo teórico para substituir u.

Passo 3

Substituindo u=2x na série acima, obtemos
[\nln(1+2x)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{(2x)n}{n}=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{2n}{n},x^n.
]

Passo 4

Para achar o raio de convergência, exigimos |2x|<1, ou seja |x|<1/2. Desse modo, o raio de convergência é R=1/2.

Resposta

A série de Maclaurin de ln(1+2x) é:
[\nln(1+2x)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{2n}{n},xn
]
e o raio de convergência é R=tfrac12.

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