Marque dentre as alternativas abaixo, uma formula para a Soma de Riemann, denotada por
, da função
ao longo do intervalo [0,1], obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais e os pontos amostrais em cada subintervalo são os extremos à direita.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre Soma de Riemann, que é uma forma de aproximar a área sob uma curva. A função que estamos analisando é $ f(x) = x^2 $ no intervalo de
. A gente vai dividir esse intervalo em $ n $ partes iguais e usar os pontos da direita para calcular a soma. Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (A) a (E) está correta para representar essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Soma de Riemann. Imagine que a gente quer calcular a área sob a curva de $ f(x) = x^2 $ de 0 a 1. Para isso, dividimos o intervalo
em $ n $ subintervalos iguais. Cada subintervalo tem largura $ \Delta x = \frac{1}{n} $.
Passo 3
Como vamos usar os extremos à direita para calcular a soma, o ponto amostral em cada subintervalo será o ponto direito. Isso significa que o ponto $ x_i $ em cada subintervalo é dado por:
onde $ i $ varia de 1 a $ n $.
Passo 4
Agora, a fórmula geral para a Soma de Riemann usando os extremos à direita é:
Substituindo $ f(x) = x^2 $ e $ \Delta x = \frac{1}{n} $, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas:
- Alternativa (D) está escrita exatamente como obtivemos:
Portanto, essa é a fórmula correta para a Soma de Riemann da função $ f(x) = x^2 $ no intervalo
Resposta
A alternativa correta é a (D):