Marque dentre as alternativas abaixo, uma formula para a Soma de Riemann, denotada por Sn, da função f(x)=z^2 ao longo do intervalo [0,1], obtida dividindo-se o intervalo em n subintervalos iguais e os pontos amostrais em cada subintervalo são os extremos à direita.
(A) Sn=sumi=1^n(in)^2
(B) Sn=sumi=0^n-1 i^2n^3
© Sn=sumi=0^n-1 i^2n^2
(D) Sn=sumi=1^n i^2n^3
(E) Sn=sumi=1^n i^2n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre Soma de Riemann, que é uma forma de aproximar a área sob uma curva. A função que estamos analisando é $ f(x) = x^2 $ no intervalo de f(x) = x^2 . A gente vai dividir esse intervalo em $ n $ partes iguais e usar os pontos da direita para calcular a soma. Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (A) a (E) está correta para representar essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Soma de Riemann. Imagine que a gente quer calcular a área sob a curva de $ f(x) = x^2 $ de 0 a 1. Para isso, dividimos o intervalo f(x) = x^2 em $ n $ subintervalos iguais. Cada subintervalo tem largura $ \Delta x = \frac{1}{n} $.

Passo 3

Como vamos usar os extremos à direita para calcular a soma, o ponto amostral em cada subintervalo será o ponto direito. Isso significa que o ponto $ x_i $ em cada subintervalo é dado por:
xi
onde $ i $ varia de 1 a $ n $.

Passo 4

Agora, a fórmula geral para a Soma de Riemann usando os extremos à direita é:
Sn = sumi=1^n f(xi) De
Substituindo $ f(x) = x^2 $ e $ \Delta x = \frac{1}{n} $, temos:
f(x) = x^2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Sn = sumi=1^n i^2n^2 cdot 1n = sumi=1^n i^2n^3

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas:
  • Alternativa (D) está escrita exatamente como obtivemos:
Sn=sumi=1^n i^2n^3
Portanto, essa é a fórmula correta para a Soma de Riemann da função $ f(x) = x^2 $ no intervalo f(x) = x^2 usando os extremos à direita.

Resposta

A alternativa correta é a (D):
Sn=sumi=1^n i^2n^3

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