Dada a função vetorial \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) :
\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\mathrm{x}^{2} \sin (\mathrm{y}), \quad \mathrm{e}^{\mathrm{x}+\mathrm{yz}}, \quad \frac{\mathrm{z}}{\mathrm{y}}\right)
Calcule o vetor \frac{\partial \mathrm{F}}{\partial \mathrm{x}}.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \mathrm{F}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}) e pede para calcular o vetor \dfrac{\partial \mathrm{F}}{\partial \mathrm{x}}. As informações relevantes são:
\mathrm{F}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=\big(\;x^{2}\sin(y),\; e^{\,x+yz},\; \tfrac{z}{y}\;\big).
O que se pede: calcular \dfrac{\partial \mathrm{F}}{\partial \mathrm{x}}, ou seja, a derivada parcial de \mathrm{F} em relação a x.

Passo 2

Entendendo o que significa \dfrac{\partial \mathrm{F}}{\partial \mathrm{x}}: para uma função vetorial com três componentes, a derivada parcial em relação a x é feita componente a componente, tratando y e z como constantes. Em fórmula:
\frac{\partial \mathrm{F}}{\partial x}=\left(\frac{\partial F_1}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x},\;\frac{\partial F_3}{\partial x}\right),
onde F_1(x,y,z)=x^{2}\sin(y), F_2(x,y,z)=e^{\,x+yz} e F_3(x,y,z)=\tfrac{z}{y}.

Passo 3

Derivada da primeira componente F_1(x,y,z)=x^{2}\sin(y) em relação a x:
  • Note que \sin(y) é função só de y, então quando derivamos em relação a x ela é constante.
  • A derivada de x^{2} é 2x.
    Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\sin(y)\big)=2x\sin(y).

Passo 4

Derivada da segunda componente F_2(x,y,z)=e^{\,x+yz} em relação a x:
  • Use a regra da cadeia: se g(x)=e^{u(x)}, então g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
  • Aqui u(x)=x+yz. Como y e z são tratados como constantes, u'(x)=1.
    Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{\,x+yz}\big)=e^{\,x+yz}\cdot 1 = e^{\,x+yz}.

Passo 5

Derivada da terceira componente F_3(x,y,z)=\tfrac{z}{y} em relação a x:
  • Tanto z quanto y são constantes quando derivamos em relação a x, então \tfrac{z}{y} é uma constante em x.
  • A derivada de uma constante é 0.
    Logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(\tfrac{z}{y}\big)=0.

Passo 6

Juntando as derivadas das três componentes, obtemos o vetor derivada parcial:
\frac{\partial \mathrm{F}}{\partial x}=\big(2x\sin(y),\; e^{\,x+yz},\; 0\big).

Resposta

\left(2x\sin(y),\; e^{\,x+yz},\; 0\right)

Exercícios relacionados