Utilize coordenadas cilíndricas.
(a) Ache o volume da região
limitada pelos paraboloides
e
.
(b) Encontre o centroide do
(centro de massa no caso em que a densidade é constante).
(a) Ache o volume da região
(b) Encontre o centroide do
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o volume da região
limitada pelas superfícies e . - (b) Encontrar o centroide de
(centro de massa se a densidade for constante).
Observação importante: presumo que houve uma digitação e que a primeira superfície é na verdade
(paraboloide voltado para cima). Essa interpretação faz sentido porque o enunciado pede o uso de coordenadas cilíndricas e torna as superfícies radiais (dependentes de
), o que é o caso clássico. Vou resolver com essa interpretação:
Informações relevantes dadas:
- As duas superfícies determinam uma região fechada
entre o paraboloide ascendente e o descendente. - Queremos volume e centroide sob densidade constante.
Passo 2
Troca para coordenadas cilíndricas — aula rápida e prática:
- Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis
com
- A razão:
, então superfícies que dependem de ficam simples em . - Elemento de volume (Jacobiano): ao trocar
por temos
Aqui
aparece multiplicando porque a transformação “espalha” as áreas elementares quando variamos
.
Aplicando isso às superfícies (usando
) temos:
Passo 3
Encontrar a projeção radial (curva de interseção) no plano
:
- Igualamos as alturas onde as superfícies se encontram:
- Somando
dos dois lados:
- Como não há dependência em
, a região projetada no plano é o disco de raio : .
Comentário intuitivo: a região
é simétrica por rotação em torno do eixo
, então a projeção é um disco e isso simplifica muito os integrais.
Passo 4
Calcular o volume usando o integral triplo em cilíndricas:
- Fórmula do volume:
- Integramos primeiro em
:
- Agora o integral em
e :
- Calcule o integral em
:
- Agora em
:
Portanto o volume é
. (Respire aliviado — números bonitos aparecem!)
Passo 5
Centroide (pensamento geral e simetria):
- Para densidade constante
const, as coordenadas do centroide são
- Observação de simetria: a região
é simétrica por rotação em torno do eixo . Assim, para cada ponto com coordenada existe um ponto com na região; o mesmo vale para . Logo os integrais e são zero por simetria. Assim:
Resta então calcular
.
Passo 6
Calcular
:
- Fórmula:
- Em cilíndricas:
- Integral em
:
- Portanto o integrando sobre
é
- Expandir os quadrados para integrar:
logo
Multiplicando por
dá o integrando final em
:
- Integramos em
de a :
Avalia em
:
Calcule passo a passo:
Somando/subtraindo:
- Agora integrar
de a :
- Finalmente, dividimos pelo volume
:
Portanto
.
Passo 7
Resultado final do centroide:
-
. Isto condiz com a simetria: o centroide está no eixo e a altura média fica exatamente na metade da “espessura” apropriada aqui.
Resposta
(a)
(b)
(b)