Utilize coordenadas cilíndricas.
(a) Ache o volume da região E limitada pelos paraboloides z=x^{3}+y^{2} e z=36-3 x^{2}-3 y^{2}.
(b) Encontre o centroide do E (centro de massa no caso em que a densidade é constante).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o volume da região E limitada pelas superfícies z=x^{3}+y^{2} e z=36-3x^{2}-3y^{2}.
  • (b) Encontrar o centroide de E (centro de massa se a densidade for constante).
Observação importante: presumo que houve uma digitação e que a primeira superfície é na verdade z=x^{2}+y^{2} (paraboloide voltado para cima). Essa interpretação faz sentido porque o enunciado pede o uso de coordenadas cilíndricas e torna as superfícies radiais (dependentes de x^{2}+y^{2}), o que é o caso clássico. Vou resolver com essa interpretação:
z_{\text{inf}} = x^{2}+y^{2},\qquad z_{\text{sup}} = 36-3x^{2}-3y^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • As duas superfícies determinam uma região fechada E entre o paraboloide ascendente e o descendente.
  • Queremos volume e centroide sob densidade constante.

Passo 2

Troca para coordenadas cilíndricas — aula rápida e prática:
  • Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.
  • A razão: x^{2}+y^{2}=r^{2}, então superfícies que dependem de x^{2}+y^{2} ficam simples em r.
  • Elemento de volume (Jacobiano): ao trocar (x,y,z) por (r,\theta,z) temos
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui r aparece multiplicando porque a transformação “espalha” as áreas elementares quando variamos \theta.
Aplicando isso às superfícies (usando x^{2}+y^{2}=r^{2}) temos:
z_{\text{inf}} = r^{2},\qquad z_{\text{sup}} = 36-3r^{2}.

Passo 3

Encontrar a projeção radial (curva de interseção) no plano xy:
  • Igualamos as alturas onde as superfícies se encontram:
r^{2} = 36-3r^{2}.
  • Somando 3r^{2} dos dois lados:
4r^{2}=36 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad r=3\\ (\text{escolhemos } r\ge0).
  • Como não há dependência em \theta, a região projetada no plano xy é o disco de raio 3: 0\le r\le3,\;0\le\theta\le2\pi.
Comentário intuitivo: a região E é simétrica por rotação em torno do eixo z, então a projeção é um disco e isso simplifica muito os integrais.

Passo 4

Calcular o volume usando o integral triplo em cilíndricas:
  • Fórmula do volume:
\text{Vol}(E)=\iiint_E dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=r^{2}}^{36-3r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Integramos primeiro em z:
\int_{z=r^{2}}^{36-3r^{2}} r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{z=r^{2}}^{z=36-3r^{2}} = r\bigl(36-3r^{2}-r^{2}\bigr) = r(36-4r^{2}).
  • Agora o integral em r e \theta:
\text{Vol}(E)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \bigl(36r-4r^{3}\bigr)\,dr\,d\theta.
  • Calcule o integral em r:
\int_{0}^{3} \bigl(36r-4r^{3}\bigr)\,dr = \left[18r^{2}-r^{4}\right]_{0}^{3} = 18\cdot 3^{2}-3^{4}=18\cdot9-81=162-81=81.
  • Agora em \theta:
\text{Vol}(E)=\int_{0}^{2\pi} 81\,d\theta = 81\cdot 2\pi = 162\pi.
Portanto o volume é \,162\pi. (Respire aliviado — números bonitos aparecem!)

Passo 5

Centroide (pensamento geral e simetria):
  • Para densidade constante \rho= const, as coordenadas do centroide são
\bar x = \frac{1}{\text{Vol}(E)}\iiint_{E} x\,dV,\qquad \bar y = \frac{1}{\text{Vol}(E)}\iiint_{E} y\,dV,\qquad \bar z = \frac{1}{\text{Vol}(E)}\iiint_{E} z\,dV.
  • Observação de simetria: a região E é simétrica por rotação em torno do eixo z. Assim, para cada ponto com coordenada x existe um ponto com -x na região; o mesmo vale para y. Logo os integrais \iiint_E x\,dV e \iiint_E y\,dV são zero por simetria. Assim:
\bar x = 0,\qquad \bar y = 0.
Resta então calcular \bar z.

Passo 6

Calcular \bar z:
  • Fórmula:
\bar z = \frac{1}{\text{Vol}(E)}\iiint_{E} z\,dV.
  • Em cilíndricas:
\iiint_{E} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{z=r^{2}}^{36-3r^{2}} z\cdot r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Integral em z:
\int_{r^{2}}^{36-3r^{2}} z\,dz = \left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{r^{2}}^{36-3r^{2}} = \tfrac{1}{2}\bigl((36-3r^{2})^{2}-(r^{2})^{2}\bigr).
  • Portanto o integrando sobre r,\theta é
\tfrac{1}{2}\bigl((36-3r^{2})^{2}-r^{4}\bigr)\,r.
  • Expandir os quadrados para integrar:
(36-3r^{2})^{2}=1296-216r^{2}+9r^{4},
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\tfrac{1}{2}\bigl(1296-216r^{2}+9r^{4}-r^{4}\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(1296-216r^{2}+8r^{4}\bigr)=648-108r^{2}+4r^{4}.
Multiplicando por r dá o integrando final em r:
648r-108r^{3}+4r^{5}.
  • Integramos em r de 0 a 3:
\int_{0}^{3} (648r-108r^{3}+4r^{5})\,dr = \left[324r^{2}-27r^{4}+\tfrac{2}{3}r^{6}\right]_{0}^{3}.
Avalia em r=3:
324\cdot 9 -27\cdot 81 + \tfrac{2}{3}\cdot 3^{6}.
Calcule passo a passo:
324\cdot9=2916,\qquad 27\cdot81=2187,\qquad 3^{6}=729,\\ \tfrac{2}{3}\cdot729=486.
Somando/subtraindo:
2916-2187+486=1215.
  • Agora integrar \theta de 0 a 2\pi:
\iiint_{E} z\,dV = \int_{0}^{2\pi} 1215\,d\theta = 1215\cdot 2\pi = 2430\pi.
  • Finalmente, dividimos pelo volume 162\pi:
\bar z = \frac{2430\pi}{162\pi} = \frac{2430}{162} = 15.
Portanto \bar z=15.

Passo 7

Resultado final do centroide:
  • \bar x=0,\\ \bar y=0,\\ \bar z=15. Isto condiz com a simetria: o centroide está no eixo z e a altura média fica exatamente na metade da “espessura” apropriada aqui.

Resposta

(a) \,162\pi
(b) (0,0,15)

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