Dada a função vetorial \mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) :
\mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}^{2}+1}, \quad \ln \left(\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{y}\right), \quad \cos (\mathrm{xz})\right)
Calcule o vetor \frac{\partial \mathrm{G}}{\partial \mathrm{y}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \mathrm{G}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}) e pede o vetor das derivadas parciais em relação a \mathrm{y}. As informações fornecidas são:
\mathrm{G}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}^{2}+1},\quad \ln\big(\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{y}\big),\quad \cos(\mathrm{xz})\right).
O que se pede explicitamente é o vetor
\frac{\partial \mathrm{G}}{\partial \mathrm{y}}= \left(\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}^{2}+1}\right),\; \frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}\big(\ln(\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{y})\big),\; \frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}\big(\cos(\mathrm{xz})\big)\right).

Passo 2

Lembrete importante sobre derivada parcial: ao calcular \frac{\partial}{\partial \mathrm{y}} tratamos \mathrm{x} e \mathrm{z} como constantes. Ou seja, diferenciamos cada componente da função apenas em relação a \mathrm{y}, mantendo as outras letras fixas. Vou aplicar regras básicas: regra do quociente/produto, regra da cadeia e a noção de que se uma expressão não contém \mathrm{y}, sua derivada parcial em relação a \mathrm{y} é zero.

Passo 3

Derivada da primeira componente \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}^{2}+1} em relação a \mathrm{y}.
Escolho usar a regra do quociente. Para \displaystyle f(\mathrm{y})=\frac{u(\mathrm{y})}{v(\mathrm{y})} vale
f'(\mathrm{y})=\frac{u'(\mathrm{y})\,v(\mathrm{y})-u(\mathrm{y})\,v'(\mathrm{y})}{\big(v(\mathrm{y})\big)^{2}}.
Aqui u(\mathrm{y})=\mathrm{x} (constante em relação a \mathrm{y}) e v(\mathrm{y})=\mathrm{y}^{2}+1. Então u'(\mathrm{y})=0 e v'(\mathrm{y})=2\mathrm{y}. Aplicando:
\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}^{2}+1}\right) =\frac{0\cdot(\mathrm{y}^{2}+1)-\mathrm{x}\cdot(2\mathrm{y})}{(\mathrm{y}^{2}+1)^{2}} =-\frac{2\mathrm{x}\mathrm{y}}{(\mathrm{y}^{2}+1)^{2}}.
Comentário: também dá para ver como \mathrm{x}\cdot(\mathrm{y}^{2}+1)^{-1} e aplicar a regra da cadeia e produto, chegando ao mesmo resultado.

Passo 4

Derivada da segunda componente \ln(\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{y}) em relação a \mathrm{y}.
Usamos a regra da cadeia para \ln(u): se h(\mathrm{y})=\ln(u(\mathrm{y})) então
h'(\mathrm{y})=\frac{u'(\mathrm{y})}{u(\mathrm{y})}.
Aqui u(\mathrm{y})=\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{y}. Como \mathrm{x} é constante, u'(\mathrm{y})=3. Portanto
\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}\big(\ln(\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{y})\big) =\frac{3}{\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{y}}.
Explicando em palavras: derivar o ln é dividir pela expressão interna e multiplicar pela derivada desta expressão interna (que é 3 aqui).

Passo 5

Derivada da terceira componente \cos(\mathrm{xz}) em relação a \mathrm{y}.
Observe que \cos(\mathrm{xz}) não depende de \mathrm{y}: a expressão \mathrm{xz} usa apenas \mathrm{x} e \mathrm{z}, que são tratados como constantes quando derivamos em relação a \mathrm{y}. Logo
\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}\big(\cos(\mathrm{xz})\big)=0.
Dica para prova: sempre verifique se a variável aparece explicitamente; se não aparecer, derivada parcial é zero.

Passo 6

Reunindo os resultados das três componentes obtemos o vetor derivada parcial em relação a \mathrm{y}:
\frac{\partial \mathrm{G}}{\partial \mathrm{y}} =\left(-\frac{2\mathrm{x}\mathrm{y}}{(\mathrm{y}^{2}+1)^{2}},\quad \frac{3}{\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{y}},\quad 0\right).
Pronto — esse é o vetor pedido. Se quiser verificar rápido: avaliar em algum ponto numérico simples (por exemplo \mathrm{x}=1,\mathrm{y}=0,\mathrm{z}=0) e checar consistência ajuda a ganhar confiança.

Resposta

\frac{\partial \mathrm{G}}{\partial \mathrm{y}}= \left(-\frac{2\mathrm{x}\mathrm{y}}{(\mathrm{y}^{2}+1)^{2}},\quad \frac{3}{\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{y}},\quad 0\right)

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