Dada a função vetorial
:
Calcule o vetor
.
Calcule o vetor
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
e pede o vetor das derivadas parciais em relação a
. As informações fornecidas são:
O que se pede explicitamente é o vetor
Passo 2
Lembrete importante sobre derivada parcial: ao calcular
tratamos
e
como constantes. Ou seja, diferenciamos cada componente da função apenas em relação a
, mantendo as outras letras fixas. Vou aplicar regras básicas: regra do quociente/produto, regra da cadeia e a noção de que se uma expressão não contém
, sua derivada parcial em relação a
é zero.
Passo 3
Derivada da primeira componente
em relação a
.
Escolho usar a regra do quociente. Para
vale
Aqui
(constante em relação a
) e
. Então
e
. Aplicando:
Comentário: também dá para ver como
e aplicar a regra da cadeia e produto, chegando ao mesmo resultado.
Passo 4
Derivada da segunda componente
em relação a
.
Usamos a regra da cadeia para
: se
então
Aqui
. Como
é constante,
. Portanto
Explicando em palavras: derivar o ln é dividir pela expressão interna e multiplicar pela derivada desta expressão interna (que é
aqui).
Passo 5
Derivada da terceira componente
em relação a
.
Observe que
não depende de
: a expressão
usa apenas
e
, que são tratados como constantes quando derivamos em relação a
. Logo
Dica para prova: sempre verifique se a variável aparece explicitamente; se não aparecer, derivada parcial é zero.
Passo 6
Reunindo os resultados das três componentes obtemos o vetor derivada parcial em relação a
:
Pronto — esse é o vetor pedido. Se quiser verificar rápido: avaliar em algum ponto numérico simples (por exemplo
) e checar consistência ajuda a ganhar confiança.