Dada a função vetorial
:
Calcule o vetor
.
Calcule o vetor
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
com três componentes:
Pede-se para calcular o vetor
, isto é, a derivada parcial de
em relação a
. As informações relevantes são as três componentes explícitas acima; ao derivar parcialmente em relação a
trataremos
e
como constantes.
Passo 2
Explicação do que significa
: para uma função vetorial com componentes
definimos
Ou seja, derivamos cada componente em relação a
mantendo
e
fixos. Vou fazer isso componente a componente, explicando as regras usadas (regra do poder, regra da cadeia, simplificações algébricas).
Passo 3
Derivada da primeira componente
.
- Aqui
e são constantes em relação a . - Aplicamos a regra do poder:
.
Logo,
Passo 4
Derivada da segunda componente
.
- Use a regra da cadeia: se
então . - Tome
. Como é constante,
- Agora aplique a fórmula:
- Simplificando o denominador:
portanto
Passo 5
Derivada da terceira componente
.
- Escrevemos
e aplicamos a regra da cadeia: se então . - Tome
. Então (pois e são constantes). - Assim
Passo 6
Agora montamos o vetor derivada juntando as três componentes calculadas: