Dada a função vetorial \mathrm{H}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) :
\mathrm{H}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\mathrm{xyz}^{3}, \quad \arctan (\mathrm{y} / \mathrm{z}), \quad \sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}}\right)
Calcule o vetor \frac{\partial \mathrm{H}}{\partial \mathrm{z}}.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial H(x,y,z) com três componentes:
H(x,y,z)=\bigl(x y z^{3},\;\arctan(y/z),\;\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\bigr).
Pede-se para calcular o vetor \dfrac{\partial H}{\partial z}, isto é, a derivada parcial de H em relação a z. As informações relevantes são as três componentes explícitas acima; ao derivar parcialmente em relação a z trataremos x e y como constantes.

Passo 2

Explicação do que significa \dfrac{\partial H}{\partial z}: para uma função vetorial com componentes H=(H_{1},H_{2},H_{3}) definimos
\frac{\partial H}{\partial z}=\left(\frac{\partial H_{1}}{\partial z},\;\frac{\partial H_{2}}{\partial z},\;\frac{\partial H_{3}}{\partial z}\right).
Ou seja, derivamos cada componente em relação a z mantendo x e y fixos. Vou fazer isso componente a componente, explicando as regras usadas (regra do poder, regra da cadeia, simplificações algébricas).

Passo 3

Derivada da primeira componente H_{1}(x,y,z)=x y z^{3}.
  • Aqui x e y são constantes em relação a z.
  • Aplicamos a regra do poder: \dfrac{d}{dz}z^{3}=3z^{2}.
Logo,
\frac{\partial H_{1}}{\partial z}=x y \cdot 3z^{2}=3 x y z^{2}.

Passo 4

Derivada da segunda componente H_{2}(x,y,z)=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr).
  • Use a regra da cadeia: se H_{2}(z)=\arctan(u(z)) então \dfrac{dH_{2}}{dz}=\dfrac{u'(z)}{1+u(z)^{2}}.
  • Tome u(z)=\dfrac{y}{z}=y\cdot z^{-1}. Como y é constante,
u'(z)=\frac{d}{dz}\bigl(y z^{-1}\bigr)=y\cdot(-1)z^{-2}=-\frac{y}{z^{2}}.
  • Agora aplique a fórmula:
\frac{\partial H_{2}}{\partial z}=\frac{-\dfrac{y}{z^{2}}}{1+\bigl(\dfrac{y}{z}\bigr)^{2}}.
  • Simplificando o denominador:
1+\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr)^{2}=\frac{z^{2}+y^{2}}{z^{2}},
portanto
\frac{\partial H_{2}}{\partial z}=\left(-\frac{y}{z^{2}}\right)\cdot\frac{z^{2}}{z^{2}+y^{2}}=-\frac{y}{z^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Derivada da terceira componente H_{3}(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Escrevemos H_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2} e aplicamos a regra da cadeia: se f(u)=u^{1/2} então f'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}.
  • Tome u(z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Então u'(z)=2z (pois x e y são constantes).
  • Assim
\frac{\partial H_{3}}{\partial z}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2z=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.

Passo 6

Agora montamos o vetor derivada juntando as três componentes calculadas:
\frac{\partial H}{\partial z}=\left(3 x y z^{2},\; -\frac{y}{y^{2}+z^{2}},\; \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right).

Resposta

\frac{\partial H}{\partial z}=\left(3 x y z^{2},\; -\frac{y}{y^{2}+z^{2}},\; \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)

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