Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e ealcule essa integral.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{2} \int_{e}^{9-r^{2}} r d z d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) fazer o esboço (desenho/descrição) do sólido cujo volume é dado pela integral e (2) calcular essa integral. A integral fornecida é
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2}\int_{e}^{\,9-r^{2}} r \, dz \, dr \, d\theta.
Informações dadas pelo enunciado:
  • O integrando é r.
  • Os limites são \theta de 0 a \pi/2, r de 0 a 2 e z de e até 9-r^{2}.
  • A variável e é a constante e (aprox. 2{,}718\ldots).
    Estas são todas as informações que vamos usar.

Passo 2

O que significa essa integral? Ela está escrita em coordenadas cilíndricas (ou polares no plano xy mais a coordenada z). Aqui está o que cada símbolo representa:
  • \theta é o ângulo polar no plano xy.
  • r é a distância ao eixo z (o raio polar).
  • z é a coordenada vertical.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r\,dr\,d\theta\,dz. É por isso que aparece o fator r no integrando: é o jacobiano da transformação cartesianas \to cilíndricas. Intuitivamente, um pequeno retângulo angular tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta, porque ao aumentar \theta um pouquinho a distância arcual cresce com r.

Passo 3

Descrição da projeção no plano xy:
  • Como \theta\in[0,\pi/2] e r\in[0,2], a projeção do sólido no plano xy é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante. Em palavras: todos os pontos com 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le\pi/2.
    Isso significa que, para cada ponto desse quarto de disco, verticalmente o sólido ocupa valores de z entre as curvas dadas pelo próximo passo.

Passo 4

Descrição das superfícies que limitam verticalmente o sólido:
  • A superfície inferior é o plano horizontal z=e.
  • A superfície superior é o paraboloide (de revolução) dado por z=9-r^{2}. É um paraboloide “invertido” (abre para baixo em z) cujo vértice está em r=0 com z=9.
    Valores relevantes:
  • Em r=0, o topo tem z=9.
  • Em r=2, o topo tem z=9-2^{2}=5.
    Compare com o plano inferior z=e: como 5>e e 9>e, para todo r\in[0,2] temos 9-r^{2}>e. A igualdade 9-r^{2}=e ocorreria para r^{2}=9-e, cujo valor é maior que 4 (ou seja, r>2), portanto essa interseção fica fora do nosso domínio radial. Conclusão geométrica: sobre o quarto de disco de raio 2, o sólido fica entre o plano z=e por baixo e o paraboloide z=9-r^{2} por cima, e lateralmente é contido pelo cilindro vertical r=2 e pelas duas semirretas angulares \theta=0 e \theta=\pi/2.

Passo 5

Agora vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro integramos em z:
\int_{e}^{\,9-r^{2}} r \, dz = r\bigl[ z \bigr]_{z=e}^{z=9-r^{2}} = r\bigl(9-r^{2}-e\bigr).
Então a integral tripla reduz-se a
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} r\bigl(9-r^{2}-e\bigr)\, dr\, d\theta.

Passo 6

Integramos em r. Primeiro expandimos e integramos termo a termo:
r\bigl(9-r^{2}-e\bigr)=9r - r^{3} - e r.
Agora
\int_{0}^{2}\bigl(9r - r^{3} - e r\bigr)\, dr = \left[ \frac{9}{2}r^{2} - \frac{1}{4}r^{4} - \frac{e}{2}r^{2} \right]_{0}^{2}.
Avalia em r=2:
\frac{9}{2}\cdot 2^{2} - \frac{1}{4}\cdot 2^{4} - \frac{e}{2}\cdot 2^{2} = \frac{9}{2}\cdot 4 - \frac{1}{4}\cdot 16 - \frac{e}{2}\cdot 4.
Calcule cada termo:
\frac{9}{2}\cdot 4 = 18,\qquad \frac{1}{4}\cdot 16 = 4,\qquad \frac{e}{2}\cdot 4 = 2e.
Logo a integral em r vale
18 - 4 - 2e = 14 - 2e.

Passo 7

Finalmente integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} (14-2e)\, d\theta = (14-2e)\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = (14-2e)\cdot \frac{\pi}{2}.
Simplificando:
(14-2e)\cdot \frac{\pi}{2} = \pi\,(7-e).

Passo 8

Instruções rápidas para esboçar o sólido (como desenhar à mão):
  • Desenhe o quarto de disco de raio 2 no plano xy (primeiro quadrante, raio até 2).
  • Em cada ponto desse quarto de disco desenhe um segmento vertical entre z=e (uma linha horizontal baixa) e z=9-r^{2} (uma “cúpula” parabólica que em r=0 atinge 9 e em r=2 vale 5).
  • As bordas laterais são as retas angulares \theta=0 e \theta=\pi/2 e a circunferência r=2 onde a cúpula atinge z=5.
    Isso basta para um esboço que mostra a forma: um “pedaço” (um quarto) de um recipiente em forma de paraboloide, cortado por um plano inferior z=e.

Resposta

\pi(7-e)

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