Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e ealcule essa integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) fazer o esboço (desenho/descrição) do sólido cujo volume é dado pela integral e (2) calcular essa integral. A integral fornecida é
Informações dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - Os limites são
de a , de a e de até . - A variável
é a constante (aprox. ).
Estas são todas as informações que vamos usar.
Passo 2
O que significa essa integral? Ela está escrita em coordenadas cilíndricas (ou polares no plano
mais a coordenada
). Aqui está o que cada símbolo representa:
-
é o ângulo polar no plano . -
é a distância ao eixo (o raio polar). -
é a coordenada vertical. - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
. É por isso que aparece o fator no integrando: é o jacobiano da transformação cartesianas cilíndricas. Intuitivamente, um pequeno retângulo angular tem área aproximadamente , porque ao aumentar um pouquinho a distância arcual cresce com .
Passo 3
Descrição da projeção no plano
:
- Como
e , a projeção do sólido no plano é o quarto de disco de raio no primeiro quadrante. Em palavras: todos os pontos com e .
Isso significa que, para cada ponto desse quarto de disco, verticalmente o sólido ocupa valores deentre as curvas dadas pelo próximo passo.
Passo 4
Descrição das superfícies que limitam verticalmente o sólido:
- A superfície inferior é o plano horizontal
. - A superfície superior é o paraboloide (de revolução) dado por
. É um paraboloide “invertido” (abre para baixo em ) cujo vértice está em com .
Valores relevantes: - Em
, o topo tem . - Em
, o topo tem .
Compare com o plano inferior: como e , para todo temos . A igualdade ocorreria para , cujo valor é maior que (ou seja, ), portanto essa interseção fica fora do nosso domínio radial. Conclusão geométrica: sobre o quarto de disco de raio , o sólido fica entre o plano por baixo e o paraboloide por cima, e lateralmente é contido pelo cilindro vertical e pelas duas semirretas angulares e .
Passo 5
Agora vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro integramos em
:
Então a integral tripla reduz-se a
Passo 6
Integramos em
. Primeiro expandimos e integramos termo a termo:
Agora
Avalia em
:
Calcule cada termo:
Logo a integral em
vale
Passo 7
Finalmente integramos em
:
Simplificando:
Passo 8
Instruções rápidas para esboçar o sólido (como desenhar à mão):
- Desenhe o quarto de disco de raio
no plano (primeiro quadrante, raio até ). - Em cada ponto desse quarto de disco desenhe um segmento vertical entre
(uma linha horizontal baixa) e (uma “cúpula” parabólica que em atinge e em vale ). - As bordas laterais são as retas angulares
e e a circunferência onde a cúpula atinge .
Isso basta para um esboço que mostra a forma: um “pedaço” (um quarto) de um recipiente em forma de paraboloide, cortado por um plano inferior.