Dada a função vetorial r(t), calcule as seguintes integrais:
integral0^1(t^2 e^3 t, t sen(t) cos (t)) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^1r(t),dt,
onde r(t)=(t^2e^3t,,tsin(t)cos(t)). A integral de função vetorial se faz componente a componente. Para a primeira vamos usar integração por partes duas vezes e para a segunda vamos usar a identidade trigonométrica sin(t)cos(t)=tfrac12sin(2t) seguida de integração por partes.

Passo 2

Primeira componente:
integral0^1t^2e^3t,dt
Aplicando integração por partes com u=t^2 e dv=e^3tdt reduzimos para integral t e^3tdt, que por nova integração por partes leva ao antiderivada
F(t)=e^3t(9t^2-6t+2)27
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integral0^1t^2e^3tdt =F(1)-F(0) =5e^3-227

Passo 3

Segunda componente: usando sin(t)cos(t)=tfrac12sin(2t),
integral0^1tsin(t)cos(t),dt =12integral0^1tsin(2t),dt
Fazendo partes com u=t, dv=sin(2t)dt obtemos o antiderivada
G(t)=-t2cos(2t)+14sin(2t),
portanto
integral0^1tsin(t)cos(t),dt =G(1)-G(0) =-cos(2)4+sin(2)8 =-2cos(2)+sin(2)8

Resposta

integral0^1l(t^2e^3t,,tsin(t)cos(t)r),dt =gl(5e^3-227,;-2cos(2)+sin(2)8gr)

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