Sejam u=(1,-1,0) e v=(2,1,-3) dois vetores no R^3 e r=x u+y v, com x e y escalares.
(a) Determine as componentes de r;
(b) Se r=0, prove que x=y=0;
(c) Determine x e y tais que r=(-1,-2,3);
(d) Mostre que nenhuma escolha de x e y satisfaz r= (2,-1,0).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores vec u=(1,-1,0) e vec v=(2,1,-3) em R^3 e define vec r = xvec u + yvec v, com x,y escalares. Precisamos:
– (a) achar as componentes de vec r;
– (b) mostrar que vec r=0 implica x=y=0;
– (c) resolver vec r=(-1,-2,3) para x,y;
– (d) mostrar que não há x,y tais que vec r=(2,-1,0).
Para isso, vamos escrever vec r coordenada a coordenada e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Calculando coordenada a coordenada:
vec r = x(1,-1,0) + y(2,1,-3) = (,x+2y,;-x+y,;-3y,)
Logo as componentes de vec r são
l(x+2y,,-x+y,,-3yr)

Passo 3

Para
Da terceira equação vem , logo . Assim, implica .

Passo 4

Queremos
Da terceira equação vem , que satisfaz também a segunda. Logo e .

Passo 5

Para
Da terceira equação , mas isso falha na primeira pois . Há, portanto, inconsistência e não existe solução.

Resposta

(a) vec r=(x+2y,,-x+y,,-3y).
(b) x=y=0.
(c) x=1,;y=-1.
(d) não há escolha de x,y que produza vec r=(2,-1,0).

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