(2 Pontos) Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva gamma(t)=(e^t, t e^t, t e^t^2) no ponto P=(1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
gamma(t)=l(e^t,,t,e^t,,t,e^t^2r)
no ponto P=(1,0,1). Para achar essa reta, precisamos primeiro determinar o parâmetro t0 tal que gamma(t0)=P; em seguida, calcular o vetor tangente gamma'(t0) e montar as equações paramétricas da reta.

Passo 2

Impondo
Da primeira equação vem confirma , mas na terceira ficamos com
Ou seja, não há nenhum que satisfaça todas as três igualdades simultaneamente.

Passo 3

Concluímos que o ponto P=(1,0,1) não pertence à curva gamma. Sem um t0 tal que gamma(t0)=P, não faz sentido falar em reta tangente a gamma nesse ponto.

Resposta

O ponto P=(1,0,1) não está na curva gamma, logo não existe reta tangente a gamma em P.

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