Dada a função:
x(t)=2 t^{3}-6 t^{2}+4 t-10
x em metros, t em segundos.
Encontre os valores para as velocidades e acelerações nos tempos: 0,1,2,3 e 4 segundos.

Passo 1

O enunciado dá a função posição
x(t)=2 t^{3}-6 t^{2}+4 t-10,
onde x está em metros e t em segundos. Pede-se: encontrar os valores da velocidade e da aceleração nos instantes t=0, t=1, t=2, t=3 e t=4 segundos. As informações relevantes são:
x(t)=2 t^{3}-6 t^{2}+4 t-10,
tempos: 0,\,1,\,2,\,3,\,4 s;
o que se quer: v(t) (velocidade) e a(t) (aceleração) em cada um desses tempos.

Passo 2

O que é velocidade instantânea? Velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo: matematicamente, é a derivada da função posição. Se chamarmos de x(t) a posição, a velocidade é
v(t)=\frac{dx}{dt}=x'(t).
Breve lembrete de como derivar polinômios (regra do poder): a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}. Se houver um coeficiente constante c, a derivada de c\,t^{n} é c\cdot n\,t^{n-1}. Exemplinho: a derivada de 3t^{2} é 3\cdot 2\,t^{1}=6t. Unidades: como x está em metros e t em segundos, v terá unidades de metros por segundo ( \text{m/s}).

Passo 3

Vamos derivar termo a termo a função x(t) usando a regra do poder:
derivada de 2 t^{3} é 2\cdot 3\,t^{2}=6 t^{2},
derivada de -6 t^{2} é -6\cdot 2\,t=-12 t,
derivada de 4 t é 4,
derivada de constante -10 é 0.
Portanto, a função velocidade é
v(t)=6 t^{2}-12 t+4.

Passo 4

A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, isto é, a derivada da velocidade (segunda derivada da posição):
a(t)=\frac{dv}{dt}=v'(t)=x''(t).
Derivando v(t)=6 t^{2}-12 t+4 termo a termo:
derivada de 6 t^{2} é 6\cdot 2\,t=12 t,
derivada de -12 t é -12,
derivada de 4 é 0.
Logo
a(t)=12 t-12.
Unidades da aceleração: metros por segundo ao quadrado ( \text{m/s}^{2}).

Passo 5

Agora avaliamos v(t) e a(t) nos tempos pedidos, fazendo as contas passo a passo.
Para t=0:
v(0)=6\cdot 0^{2}-12\cdot 0+4=0-0+4=4\\ \text{m/s},
a(0)=12\cdot 0-12= -12\\ \text{m/s}^{2}.
Para t=1:
v(1)=6\cdot 1^{2}-12\cdot 1+4=6-12+4=-2\\ \text{m/s},
a(1)=12\cdot 1-12=0\\ \text{m/s}^{2}.
Para t=2:
v(2)=6\cdot 2^{2}-12\cdot 2+4=6\cdot 4-24+4=24-24+4=4\\ \text{m/s},
a(2)=12\cdot 2-12=24-12=12\\ \text{m/s}^{2}.
Para t=3:
v(3)=6\cdot 3^{2}-12\cdot 3+4=6\cdot 9-36+4=54-36+4=22\\ \text{m/s},
a(3)=12\cdot 3-12=36-12=24\\ \text{m/s}^{2}.
Para t=4:
v(4)=6\cdot 4^{2}-12\cdot 4+4=6\cdot 16-48+4=96-48+4=52\\ \text{m/s},
a(4)=12\cdot 4-12=48-12=36\\ \text{m/s}^{2}.

Resposta

t=0\\ \text{s}: v(0)=4\\ \text{m/s},\; a(0)=-12\\ \text{m/s}^{2}\n
t=1\\ \text{s}: v(1)=-2\\ \text{m/s},\; a(1)=0\\ \text{m/s}^{2}\n
t=2\\ \text{s}: v(2)=4\\ \text{m/s},\; a(2)=12\\ \text{m/s}^{2}\n
t=3\\ \text{s}: v(3)=22\\ \text{m/s},\; a(3)=24\\ \text{m/s}^{2}\n
t=4\\ \text{s}: v(4)=52\\ \text{m/s},\; a(4)=36\\ \text{m/s}^{2}

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