Dada a função:
em metros,
em segundos.
Encontre os valores para as velocidades e acelerações nos tempos:
e 4 segundos.
Encontre os valores para as velocidades e acelerações nos tempos:
Passo 1
O enunciado dá a função posição
onde
está em metros e
em segundos. Pede-se: encontrar os valores da velocidade e da aceleração nos instantes
,
,
,
e
segundos. As informações relevantes são:
tempos:
s;
o que se quer: (velocidade) e
(aceleração) em cada um desses tempos.
o que se quer:
Passo 2
O que é velocidade instantânea? Velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo: matematicamente, é a derivada da função posição. Se chamarmos de
a posição, a velocidade é
Breve lembrete de como derivar polinômios (regra do poder): a derivada de
é
. Se houver um coeficiente constante
, a derivada de
é
. Exemplinho: a derivada de
é
. Unidades: como
está em metros e
em segundos,
terá unidades de metros por segundo (
).
Passo 3
Vamos derivar termo a termo a função
usando a regra do poder:
derivada de é
,
derivada de é
,
derivada de é
,
derivada de constante é
.
Portanto, a função velocidade é
derivada de
derivada de
derivada de
derivada de constante
Portanto, a função velocidade é
Passo 4
A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, isto é, a derivada da velocidade (segunda derivada da posição):
Derivando
termo a termo:
derivada de é
,
derivada de é
,
derivada de é
.
Logo
derivada de
derivada de
derivada de
Logo
Unidades da aceleração: metros por segundo ao quadrado (
).
Passo 5
Agora avaliamos
e
nos tempos pedidos, fazendo as contas passo a passo.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
: