Duas forças atuam sobre um corpo no plano.
A força F_{1} tem intensidade \mathbf{1 0} \mathbf{~ N} e direção fazendo \mathbf{3 0}^{\circ} com o eixo x.
A força F_{2} tem intensidade \mathbf{8} \mathbf{N} e direção fazendo \mathbf{1 2 0}^{\boldsymbol{\circ}} com o mesmo eixo.
O corpo se desloca 2 m na direção do eixo x .
Calcule o trabalho resultante realizado pelas duas forças.
(Dado que trabalho é W=F . d )

Passo 1

O enunciado pede: calcular o trabalho resultante realizado pelas duas forças quando o corpo se desloca 2\\ \text{m} na direção do eixo x.
Dados fornecidos:
  • força F_{1} com intensidade \,10\\ \text{N}\, e direção fazendo \,30^\circ\, com o eixo x;
  • força F_{2} com intensidade \,8\\ \text{N}\, e direção fazendo \,120^\circ\, com o eixo x;
  • deslocamento \mathbf{d} de módulo \,2\\ \text{m}\, na direção positiva do eixo x;
  • informação: trabalho de uma força é W=F\cdot d (produto escalar entre força e deslocamento).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e direta): para uma força constante \mathbf{F} e um deslocamento constante \mathbf{d}, o trabalho é o produto escalar
W = \mathbf{F}\cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{F} e \mathbf{d}. Aqui |\mathbf{F}| é a intensidade (módulo) da força e |\mathbf{d}| o módulo do deslocamento. Explicando as variáveis:
  • |\mathbf{F}| = intensidade da força (em newtons, \text{N});
  • |\mathbf{d}| = comprimento do deslocamento (em metros, \text{m});
  • \theta = ângulo entre a direção da força e a direção do deslocamento;
  • \cos\theta dá a projeção da força na direção do deslocamento (se \cos\theta for negativo, a força realiza trabalho negativo).
No nosso caso o deslocamento é ao longo do eixo x, então o ângulo entre cada força e o deslocamento é simplesmente o ângulo dado com o eixo x: para F_{1} é \,30^\circ e para F_{2} é \,120^\circ. Vou calcular o trabalho feito por cada força e somar: W_{\text{total}}=W_{1}+W_{2}.

Passo 3

Cálculo do trabalho da primeira força F_{1}. Usamos a fórmula direta
W_{1}=|\mathbf{F}_{1}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta_{1}.
Substituindo os valores |\mathbf{F}_{1}|=10\\ \text{N}, |\mathbf{d}|=2\\ \text{m} e \theta_{1}=30^\circ:
W_{1}=10\cdot 2\cdot \cos 30^\circ.

Passo 4

Avaliação de \cos 30^\circ. Conhecimento trigonométrico básico: \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
W_{1}=10\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\\ \text{J}.
Se quiser o valor numérico aproximado: \sqrt{3}\approx 1,732, logo W_{1}\approx 10\cdot 1,732 = 17,32\\ \text{J}.

Passo 5

Cálculo do trabalho da segunda força F_{2}. Mesma fórmula:
W_{2}=|\mathbf{F}_{2}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta_{2}.
Com |\mathbf{F}_{2}|=8\\ \text{N}, |\mathbf{d}|=2\\ \text{m} e \theta_{2}=120^\circ:
W_{2}=8\cdot 2\cdot \cos 120^\circ.

Passo 6

Avaliação de \cos 120^\circ. Conhecimento trigonométrico: \cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}. Assim
W_{2}=8\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=8\cdot (-1)=-8\\ \text{J}.
Interpretação rápida: F_{2} tem componente contra o deslocamento, por isso contribui com trabalho negativo.

Passo 7

Somando os trabalhos para obter o trabalho resultante:
W_{\text{total}} = W_{1}+W_{2}=10\sqrt{3}+(-8)=10\sqrt{3}-8\\ \text{J}.
Avaliação numérica aproximada usando \sqrt{3}\approx 1,732:
W_{\text{total}}\approx 10\cdot 1,732 - 8 = 17,32-8 = 9,32\\ \text{J}.

Passo 8

Checagem alternativa (mesmo resultado, só para fixar a ideia): decompondo forças em componentes x e usando que o deslocamento está só em x,
F_{1x}=10\cos 30^\circ=5\sqrt{3},\qquad F_{2x}=8\cos 120^\circ=-4,
então força resultante em x é F_{x}=5\sqrt{3}-4 e o trabalho é W=F_{x}\cdot 2 = 2(5\sqrt{3}-4)=10\sqrt{3}-8\\ \text{J}, igual ao cálculo anterior.

Resposta

10\sqrt{3}-8\\ \text{J}\approx 9,32\\ \text{J}

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