É dada a função
.
a) Determine a derivada.
b) Calcule
.
c) Determine os pontos do gráfico em que a tangente passa pela origem.
a) Determine a derivada.
b) Calcule
c) Determine os pontos do gráfico em que a tangente passa pela origem.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- (a) a derivada
; - (b) o limite
; - (c) os pontos
em que a reta tangente passa pela origem.
Conteúdo: regra do quociente, limite de função racional e geometria da reta tangente.
Passo 2
Para achar
usamos a regra do quociente: se
então
Aqui
,
,
,
. Logo
Passo 3
Para
note que, dividindo numerador e denominador por
,
Passo 4
A reta tangente em
é
Para que ela passe por
basta substituir
,
:
Passo 5
Temos
e
. Então
Multiplicando ambos os lados por
e note que
já é solução:
Logo
ou
, i.e.\
.
Para temos
.
Para temos
Para
Para
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Os pontos são ,
e
.
(b)
(c) Os pontos são