É dada a função y=x^2x^2+1.
a) Determine a derivada.
b) Calcule lim x +infty y.
c) Determine os pontos do gráfico em que a tangente passa pela origem.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x^2x^2+1
e pede:
  • (a) a derivada y';
  • (b) o limite limxto+inftyy;
  • (c) os pontos l(x0,y0r) em que a reta tangente passa pela origem.
    Conteúdo: regra do quociente, limite de função racional e geometria da reta tangente.

Passo 2

Para achar y' usamos a regra do quociente: se y = dfracuv então
y' = u'v - uv'v^2
Aqui u(x)=x^2, u'(x)=2x, v(x)=x^2+1, v'(x)=2x. Logo
y' = 2x,(x^2+1) - x^2,(2x)(x^2+1)^2 = 2x,x^2 + 2x - 2x,x^2(x^2+1)^2 = 2x(x^2+1)^2

Passo 3

Para limxto+inftyy note que, dividindo numerador e denominador por x^2,
y = x^2x^2+1 = 11 + tfrac1x^2 ,longrightarrow,11+0 = 1

Passo 4

A reta tangente em l(x0,y0r) é
y - y0 = y'(x0),(x - x0)
Para que ela passe por (0,0) basta substituir x=0, y=0:
0 - y0 = y'(x0),(0 - x0) ;Longrightarrow; -y0 = -x0,y'(x0) ;Longrightarrow; y0 = x0,y'(x0)

Passo 5

Temos y0 = dfracx0^2x0^2+1 e y'(x0) = dfrac2x0(x0^2+1)^2. Então
x0^2x0^2+1 = x0 cdot 2x0(x0^2+1)^2 = 2x0^2(x0^2+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x0^2+1)^2 e note que x0=0 já é solução:
x0^2(x0^2+1) = 2x0^2 ;Longrightarrow; x0^2l(x0^2+1 - 2r)=0 ;Longrightarrow; x0^2(x0^2-1)=0
Logo x0=0 ou x0^2=1, i.e.\ x0=pm1.
Para x0=0 temos y0=0.
Para x0=pm1 temos
y0=(pm1)^2(pm1)^2+1=12

Resposta

(a) y'=2x(x^2+1)^2.
(b) limxto+inftyy = 1.
(c) Os pontos são l(0,0r), l(1,tfrac12r) e l(-1,tfrac12r).

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