(3 pontos) Um tanque, com capacidade de 1000 galões, contém originalmente 400 galões de água com uma solução de 100 libras de sal. Está entrando no tanque, a uma taxa de 3 galões por minuto, água contendo 1 libra de sal por galão, e permite-se que a mistura saia do tanque a uma taxa de 2 galões por minuto. Determine a concentração de sal no tanque (em libras por galão) no instante em que este vai começar a transbordar.
Passo 1
Resumimos o problema: um tanque de capacidade de
galões contém inicialmente
galões de água com
libras de sal. Entra água salgada à
galões/min com concentração de
lb/gal e sai mistura à
galões/min. Precisamos achar a concentração de sal (libras por galão) no instante em que o volume atinge
galões.
Passo 2
O volume
no tanque varia segundo a diferença das taxas de entrada e saída:
O tanque transborda quando
, ou seja em
Passo 3
Seja
a quantidade de sal (em libras) no tempo
. Temos
Condição inicial:
.
Passo 4
É uma EDO linear:
O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados e integrando:
Em
,
, logo
Assim
Passo 5
No instante de transbordar
, temos
, logo
A concentração é
Resposta
A concentração de sal no instante em que o tanque começa a transbordar é
libras por galão.