(3 pontos) Um tanque, com capacidade de 1000 galões, contém originalmente 400 galões de água com uma solução de 100 libras de sal. Está entrando no tanque, a uma taxa de 3 galões por minuto, água contendo 1 libra de sal por galão, e permite-se que a mistura saia do tanque a uma taxa de 2 galões por minuto. Determine a concentração de sal no tanque (em libras por galão) no instante em que este vai começar a transbordar.

Passo 1

Resumimos o problema: um tanque de capacidade de 1000 galões contém inicialmente 400 galões de água com 100 libras de sal. Entra água salgada à 3 galões/min com concentração de 1 lb/gal e sai mistura à 2 galões/min. Precisamos achar a concentração de sal (libras por galão) no instante em que o volume atinge 1000 galões.

Passo 2

O volume V(t) no tanque varia segundo a diferença das taxas de entrada e saída:
V(t)=400+(3-2),t=400+t
O tanque transborda quando V(t)=1000, ou seja em
trm cheio=1000-400=600 min

Passo 3

Seja S(t) a quantidade de sal (em libras) no tempo t. Temos
dSdt=taxa de entrada-taxa de saída =3-2,S(t)V(t) =3-2,S(t)400+t í
Condição inicial: S(0)=100.

Passo 4

É uma EDO linear:
dSdt+2400+tS=3
O fator integrante é mu(t)=(400+t)^2. Multiplicando ambos os lados e integrando:
ddtl[S,(400+t)^2r] =3,(400+t)^2 ;Longrightarrow; S(t),(400+t)^2=(400+t)^3+C
Em t=0, 100cdot400^2=400^3+C, logo
C=100cdot160000-64!000!000=16!000!000-64!000!000=-48!000!000
Assim
S(t)=400+t-48,000,000(400+t)^2

Passo 5

No instante de transbordar t=600, temos 400+600=1000, logo
S(600)=1000-48,000,0001000^2 =1000-48=952 libras
A concentração é
S(600)V(600)=9521000=0,952 libras/galão ã

Resposta

A concentração de sal no instante em que o tanque começa a transbordar é 0,952 libras por galão.

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