Seja A o retângulo 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1 calcule integral duplaA f(x, y) d A quando f(x, y)=
y e^x y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=y,e^x y
sobre o retângulo
A=(x,y)mid 1<= x<=2,;0<= y<=1
O conteúdo é cálculo de integrais duplas, e para resolver vamos usar o Teorema de Fubini, que permite escrever
integral duplaAf(x,y),dA
como uma integral iterada.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral duplaAy,e^x y,dA =integraly=0^1integralx=1^2y,e^x y,dx,dy

Passo 3

Vamos calcular primeiro a integral interna em x:
integralx=1^2y,e^x y,dx
Como y é constante nesse passo, temos
integral y,e^x y,dx =yintegral e^x y,dx =yl(1ye^x yr) =e^x y
Logo, avaliando de x=1 a x=2:
integralx=1^2y,e^x y,dx =e^2y-e^y

Passo 4

Substituindo na integral externa em y, obtemos
integraly=0^1l(e^2y-e^yr),dy
Cada termo 'elementar:
integral e^2y,dy=12e^2y, integral e^y,dy=e^y
Portanto
integral0^1l(e^2y-e^yr),dy =l[12e^2y-e^yr]0^1

Passo 5

Agora avaliamos nos limites:
no y=1 tfrac12e^2-e,
no y=0 tfrac12cdot1-1=-tfrac12.
Subtraindo,
l(tfrac12e^2-er)-l(-tfrac12r) =e^22-e+12 =(e-1)^22

Resposta

integral duplaAy,e^x y,dA =(e-1)^22

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