Dada a função y(x)=c sen 2 x+k cos 2 x, c e k constantes arbitrárias. Verifique se y satisfaz a EDO y^prime prime+4 y=0.

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui. Você nos deu uma função , onde e são constantes. A tarefa é verificar se essa função satisfaz a equação diferencial ordinária (EDO) . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e substituir na EDO para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de y'(x) = ddx [c sen 2x + k cos 2x] = 2c cos 2x - 2k sen 2x . A derivada da função seno é o cosseno multiplicado pelo coeficiente interno, e a derivada do cosseno é o menos seno multiplicado pelo coeficiente interno. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y''(x) = ddx [2c cos 2x - 2k sen 2x] = -4c sen 2x - 4k cos 2x , ou seja, a derivada da primeira derivada :

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, vamos substituir y'' + 4y = (-4c sen 2x - 4k cos 2x) + 4(c sen 2x + k cos 2x) e na equação diferencial :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão substituindo:
Os termos se cancelam completamente, resultando em zero, que é exatamente o que a equação diferencial pede.

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação diferencial .

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