Dada o PVI
c y^prime=e^x+y y(0)=0
Podemos afirmar que existe solulção, y(x), para esse PVI?

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema de valor inicial (PVI) dado por:
c y' = e^x + y y(0) = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver ou afirmar a existência de uma solução, precisamos entender um pouco sobre as condições que garantem que uma solução existe e é única.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que está na equação diferencial: . Para garantir que existe uma solução para o PVI, precisamos verificar se e sua derivada parcial em relação a , ou seja, , são contínuas próximas ao ponto inicial .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial fpartial y = 1 em relação a :
Essa derivada é constante e, obviamente, contínua em todo lugar.

Passo 4

Como é uma função contínua para todo e é uma variável linear, a função também é contínua em todo o plano . E como vimos, sua derivada parcial em relação a também é contínua.

Passo 5

De acordo com o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, se e são contínuas em um retângulo contendo o ponto inicial, então existe uma única solução para o PVI nessa região.

Resposta

Sim, existe uma solução única, , para o PVI dado.

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