Dada o PVI
Podemos afirmar que existe solulção,
, para esse PVI?
Passo 1
Vamos lá! Temos um problema de valor inicial (PVI) dado por:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver ou afirmar a existência de uma solução, precisamos entender um pouco sobre as condições que garantem que uma solução existe e é única.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que está na equação diferencial:
. Para garantir que existe uma solução para o PVI, precisamos verificar se
e sua derivada parcial em relação a
, ou seja,
, são contínuas próximas ao ponto inicial
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada é constante e, obviamente, contínua em todo lugar.
Passo 4
Como
é uma função contínua para todo
e
é uma variável linear, a função
também é contínua em todo o plano
. E como vimos, sua derivada parcial em relação a
também é contínua.
Passo 5
De acordo com o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, se
e
são contínuas em um retângulo contendo o ponto inicial, então existe uma única solução para o PVI nessa região.
Resposta
Sim, existe uma solução única,
, para o PVI dado.