Dada a função y(x)=K e^-x, K constante arbitrária. Verifique se y satisfaz a EDO y^prime+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função , onde é uma constante. A gente precisa verificar se essa função satisfaz a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, que são aquelas que envolvem derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de e depois substituir na EDO para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y'(x) = ddx ( K e^-x ) = K cdot (-e^-x) = -K e^-x em relação a , ou seja, . A função é uma função exponencial, e sabemos que a derivada de é . Então, aplicando a regra da derivada:

Passo 3

Agora que temos y' + y = (-K e^-x) + (K e^-x) = (-K + K) e^-x = 0 cdot e^-x = 0 e , vamos substituir esses valores na EDO :

Resposta

Sim, a função satisfaz a EDO , pois ao substituir na equação, obtemos uma igualdade verdadeira.

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