Dada o PVI
c x^prime=K(t^2+x^2), K é uma constante fixada x(0)=7 é
Existe função passando pelo ponto (0,7) que é solução desse PVI? Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que nos dá uma equação diferencial e um ponto inicial. A equação é e sabe-se que quando , . O objetivo aqui é descobrir se existe uma função que passa por esse ponto e que resolve essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e os teoremas que garantem a existência e unicidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa uma solução para esse PVI. Uma solução é uma função que, quando substituída na equação diferencial, satisfaz a igualdade, e que passa pelo ponto inicial dado, ou seja, .

Passo 3

Agora, para saber se existe tal função, usamos o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos diz que, se a função que define a equação diferencial for contínua e tiver derivadas contínuas em torno do ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.

Passo 4

Vamos verificar se as condições do teorema são atendidas. Nossa função é . Essa função é polinomial em e , o que significa que ela é contínua e tem derivadas contínuas em todo o plano . Portanto, as condições do teorema estão satisfeitas.

Passo 5

Como as condições estão OK, podemos concluir que existe uma única função que resolve o PVI dado e passa pelo ponto . Essa função será a solução da equação diferencial fornecida.

Resposta

Sim, existe uma função que passa pelo ponto e é solução desse PVI, garantindo-se a existência e unicidade dessa solução conforme o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf.

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