Dada o PVI
Existe função passando pelo ponto
que é solução desse PVI? Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que nos dá uma equação diferencial e um ponto inicial. A equação é
e sabe-se que quando
,
. O objetivo aqui é descobrir se existe uma função que passa por esse ponto
e que resolve essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e os teoremas que garantem a existência e unicidade das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa uma solução para esse PVI. Uma solução é uma função
que, quando substituída na equação diferencial, satisfaz a igualdade, e que passa pelo ponto inicial dado, ou seja,
.
Passo 3
Agora, para saber se existe tal função, usamos o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos diz que, se a função que define a equação diferencial for contínua e tiver derivadas contínuas em torno do ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
Passo 4
Vamos verificar se as condições do teorema são atendidas. Nossa função é
. Essa função é polinomial em
e
, o que significa que ela é contínua e tem derivadas contínuas em todo o plano
. Portanto, as condições do teorema estão satisfeitas.
Passo 5
Como as condições estão OK, podemos concluir que existe uma única função que resolve o PVI dado e passa pelo ponto
. Essa função será a solução da equação diferencial fornecida.
Resposta
Sim, existe uma função que passa pelo ponto
e é solução desse PVI, garantindo-se a existência e unicidade dessa solução conforme o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf.