Dada la función f: R^2 R: f(x, y)=e^-(x^2+y^2)
Calcula la derivada direccional de f(x, y) en el punto ( 1,0 ) según la dirección del vector (1,1).

Passo 1

Resumimos el enunciado: Tenemos la función de dos variables f(x,y)=e{-(x2+y^2)} y queremos su derivada direccional en el punto (1,0) según la dirección del vector (1,1). El contenido es derivada direccional y necesitaremos el gradiente de f y un vector unitario en la dirección dada.

Passo 2

Recordamos que la derivada direccional de f en la dirección de un vector unitario u viene dada por el producto punto Duf(x,y)=nabla f(x,y)cdotu. Por tanto, primero hallamos el gradiente nabla f(x,y).

Passo 3

Calculamos las derivadas parciales de f:
partial fpartial x=-2x,e^-(x^2+y^2),partial fpartial y=-2y,e^-(x^2+y^2)
Evaluamos el gradiente en el punto (1,0):
nabla f(1,0)=l(-2cdot1,e^-1^2+0^2,,-2cdot0,e^-1^2+0^2r)=(-2e^-1,;0)
Obtenemos el vector unitario en la dirección (1,1):
u=1raiz1^2+1^2(1,1)=l(tfrac1raiz2,;tfrac1raiz2r)
Aplicamos el producto punto para la derivada direccional:
$$
D_{\mathbf{u}}f(1,0)=(-2e^{-1},0)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr)
=-2e{-1}\cdot\tfrac{1}{\sqrt2}+0=-\tfrac{2}{\sqrt2}e{-1}=-\sqrt2,e^{-1}.$$

Resposta

-\sqrt2,e^{-1}

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