Dada la función
Calcula la derivada direccional de
en el punto ( 1,0 ) según la dirección del vector
.
Calcula la derivada direccional de
Passo 1
Resumimos el enunciado: Tenemos la función de dos variables f(x,y)=e{-(x2+y^2)} y queremos su derivada direccional en el punto (1,0) según la dirección del vector (1,1). El contenido es derivada direccional y necesitaremos el gradiente de f y un vector unitario en la dirección dada.
Passo 2
Recordamos que la derivada direccional de f en la dirección de un vector unitario u viene dada por el producto punto
. Por tanto, primero hallamos el gradiente
.
Passo 3
Calculamos las derivadas parciales de f:
Evaluamos el gradiente en el punto (1,0):
Obtenemos el vector unitario en la dirección (1,1):
Aplicamos el producto punto para la derivada direccional:
$$
D_{\mathbf{u}}f(1,0)=(-2e^{-1},0)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr)
=-2e{-1}\cdot\tfrac{1}{\sqrt2}+0=-\tfrac{2}{\sqrt2}e{-1}=-\sqrt2,e^{-1}.$$
Resposta
-\sqrt2,e^{-1}