(Dica: pode ser que ao inverter a ordem de integração fique mais fácil)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(1)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(1)
Passo 1
Temos uma lista de integrais duplas de (a) a (l) para avaliar usando o teorema de Fubini e, quando for conveniente, trocar a ordem de integração ou usar substituições simples.
Passo 2
Observando que em [0,1] temos |x|=x, a integral (a) fica
Passo 3
Na integral (b) a função não depende de y, então primeiro integramos em y:
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Passo 4
Para © integramos em y:
Depois em x:
Passo 5
Na (d) integramos em y:
Depois em x de 1 a 3:
Passo 6
Na (e) a integral interna em x é
logo a integral dupla inteira vale 0.
Passo 7
Para (f) integramos em x:
Agora em y de 1 a 2:
Passo 8
Na (g) integramos em y:
Depois em x de 0 a 1:
Passo 9
Na (h) a integral vira
Passo 10
Em (i) primeiro em x:
Então
Passo 11
Para (j) em x:
Multiplicando por
sin y e integrando de 0 a
pi :
Passo 12
Na (k) em y:
Depois em x:
Passo 13
Por fim, em (l) separamos
Logo a diferença é zero.
Resposta
a)
tfrac12 , b)
tfrac12sin(pi^2) , c)
-36 , d)
1 , e)
0 , f)
tfrac72-6ln2 , g)
tfrac e2-1 , h)
tfrace-12 , i)
1-cos2 , j)
-tfrac23 , k)
tfrac13 , l)
0 .