(Dica: pode ser que ao inverter a ordem de integração fique mais fácil)
(a) integral0^1 integral0^|x| d y d x
(b) integral0^pi integral0^x cos (x^2) d y d x
© integral0^3 integral1^2(12 x y^2-8 x^3) d y d x
(d) integral1^3 integral1-x^raizx x y d y d x
(e) integral0^pi integral-y^y sen x d x d y
(f) integral1^2 integral0^1(x-3 ln y) d x d y
(g) integral0^1 integralx^2^x e^y / x d y d x
(h) integral0^1 integral0^x e^x^2 d y d x
(i) integral0^2 integral1^3|x-2| sen y d x d y
(j) integral0^pi integral-1^cos y x sen y d x d y
(k) integral0^1 integral0^raiz1-x^2 y d y d x
(1) integral0^pi / 2 integral0^pi / 2(x cos y-y cos x) d y d x

Passo 1

Temos uma lista de integrais duplas de (a) a (l) para avaliar usando o teorema de Fubini e, quando for conveniente, trocar a ordem de integração ou usar substituições simples.

Passo 2

Observando que em [0,1] temos |x|=x, a integral (a) fica
integral0^1integral0^|x|dy,dx=integral0^1integral0^x dy,dx=integral0^1 x,dx=12

Passo 3

Na integral (b) a função não depende de y, então primeiro integramos em y:
integral0^piintegral0^xcos(x^2),dy,dx=integral0^pi xcos(x^2),dx
Fazendo a substituição u=x^2, du=2x,dx, obtemos
integral0^pi xcos(x^2),dx=12integral0^pi^2cos u,du=12sin(pi^2)

Passo 4

Para © integramos em y:
integral1^2(12xy^2-8x^3),dy=12xy^33-8x^3yg|1^2=4x(8-1)-8x^3(2-1)=28x-8x^3
Depois em x:
integral0^3(28x-8x^3),dx=14x^2-2x^4|0^3=126-162=-36

Passo 5

Na (d) integramos em y:
integral1-x^raiz xxy,dy=xy^22g|1-x^raiz x=x2l(x-(1-x)^2r)=-x^3+3x^2-x2
Depois em x de 1 a 3:
integral1^3-x^3+3x^2-x2dx=1

Passo 6

Na (e) a integral interna em x é
integral-y^ysin x,dx=-cos x|-y^y=-cos y+cos y=0,
logo a integral dupla inteira vale 0.

Passo 7

Para (f) integramos em x:
integral0^1(x-3ln y),dx=12-3ln y
Agora em y de 1 a 2:
integral1^2l(tfrac12-3ln yr)dy=12-3l[yln y-yr]1^2=72-6ln2

Passo 8

Na (g) integramos em y:
integralx^2^x e^y/xdy=x e^y/x|x^2^x=x(e-e^x)
Depois em x de 0 a 1:
integral0^1 x(e-e^x)dx=e12-integral0^1 xe^xdx= e2-1

Passo 9

Na (h) a integral vira
integral0^1integral0^x e^x^2dy,dx=integral0^1 x e^x^2dx=12(e-1)

Passo 10

Em (i) primeiro em x:
integral1^3|x-2|dx=integral1^2(2-x)dx+integral2^3(x-2)dx=1
Então
integral0^2sin y,dy=1-cos2

Passo 11

Para (j) em x:
integral-1^cos yx,dx=cos^2y-12=-sin^2y2
Multiplicando por sin y e integrando de 0 a pi:
-12integral0^pisin^3y,dy=-12cdot43=-23

Passo 12

Na (k) em y:
integral0^raiz1-x^2y,dy=1-x^22
Depois em x:
integral0^11-x^22dx=13

Passo 13

Por fim, em (l) separamos
I1=integral0^pi/2integral0^pi/2xcos y,dy,dx=integral0^pi/2x,dx=pi^28,
I2=integral0^pi/2integral0^pi/2ycos x,dy,dx=pi^28
Logo a diferença é zero.

Resposta

a) tfrac12, b) tfrac12sin(pi^2), c) -36, d) 1, e) 0, f) tfrac72-6ln2, g) tfrac e2-1, h) tfrace-12, i) 1-cos2, j) -tfrac23, k) tfrac13, l) 0.

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