Encontre os intervalos em que a função abaixo é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função $ f(x) = \frac{x}{1 - x} $ está crescendo e em quais está decrescendo. Para isso, vamos usar o que a gente aprende sobre derivadas, que nos ajuda a entender como uma função se comporta, ou seja, se está subindo ou descendo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo naquele intervalo. Se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x}{1 - x} $. Para isso, podemos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. A regra do quociente diz que:
Onde $ u(x) = x $ e $ v(x) = 1 - x $.
Vamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{1}{(1 - x)^2} $, vamos analisar onde ela é positiva ou negativa.
Observamos que o denominador $ (1 - x)^2 $ é sempre positivo, porque qualquer número ao quadrado é positivo. O numerador é 1, que também é positivo. Portanto, a derivada $ f’(x) $ é sempre positiva, exceto quando o denominador é zero.
Quando $ 1 - x = 0 $, ou seja, $ x = 1 $, a função não está definida. Portanto, excluímos $ x = 1 $ do nosso domínio.
Passo 5
Como a derivada $ f’(x) $ é sempre positiva para todos os $ x $ diferentes de 1, isso significa que a função $ f(x) = \frac{x}{1 - x} $ está sempre crescendo em todo o seu domínio.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x}{1 - x} $ é crescente para todos os valores de $ x $ menos em $ x = 1 $, onde a função não está definida. Portanto:
- Crescente em: $ (-\infty, 1) $ e $ (1, +\infty) $
- Não há intervalos onde a função é decrescente