Nos Problemas 43 e 44, ache uma solução do sistema, na forma X=t^2 K, t>0, onde K é um vetor coluna de constantes.
44. t X^prime=(rr2 & -2 2 & 7) X

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema tX'=AX com
A=2 & -22 & 7
e pede uma solução do tipo X(t)=t^2K, onde K é constante.

Passo 2

Supondo
X(t)=t^2K,temos
X'(t)=2tKEntão o lado esquerdo do sistema é
tX'=tcdot(2tK)=2t^2K

Passo 3

O lado direito é
AX=A,(t^2K)=t^2,(AK)
Igualando os dois lados:
2t^2K=t^2(AK) Longrightarrow(A-2I)K=0

Passo 4

Para ter Kneq0 é preciso que 2 seja autovalor de A. Mas o polinômio característico de A é
det(A-lambda I)=lambda^2-9lambda+18=0
cuja solução é lambda=3 ou lambda=6. Logo 2 não é autovalor, e só resta K=0.

Resposta

A única solução na forma X=t^2K é a trivial, com K=(0,0)^T.

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