Dada as funções abaixo,encontre as curvas de nível e esboce essas curvas no plano x y
\sin (x)+\cos (y) e z=-1,0,1, \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as curvas de nível da função
f(x,y)=\sin(x)+\cos(y)
para os valores de nível z=-1,0,1,\sqrt{2} e esboçá-las no plano xy. O conteúdo aqui é o conceito de curva de nível, que consiste no conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c. Vamos usar a identidade
\sin(x)+\cos(y)=c
e isolar \cos(y), lembrando que é preciso garantir que o termo isolado esteja em [-1,1].

Passo 2

Escrevendo a equação geral da curva de nível para c\in\{-1,0,1,\sqrt{2}\}:
\sin(x)+\cos(y)=c \quad\Longrightarrow\quad \cos(y)=c-\sin(x).
Como -1\le\cos(y)\le1, impomos
-1\le c-\sin(x)\le1,
o que restringe o domínio de x. Para cada c, as soluções em y são
y=\operatorname{arccos}\bigl(c-\sin(x)\bigr)+2k\pi \quad\text{ou}\quad y=-\operatorname{arccos}\bigl(c-\sin(x)\bigr)+2k\pi,
com k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para c=-1:
\cos(y)=-1-\sin(x).
O domínio é dado por
-1\le -1-\sin(x)\le1 \;\Longrightarrow\; \sin(x)\le0.
Logo as curvas são
y=\operatorname{arccos}\bigl(-1-\sin(x)\bigr)+2k\pi \quad\text{e}\quad y=-\operatorname{arccos}\bigl(-1-\sin(x)\bigr)+2k\pi,
válidas somente para x tais que \sin(x)\le0.

Passo 4

Para c=0:
\cos(y)=-\sin(x).
Como -1\le -\sin(x)\le1 vale para todo x, não há restrição adicional. As curvas são
y=\operatorname{arccos}\bigl(-\sin(x)\bigr)+2k\pi \quad\text{e}\quad y=-\operatorname{arccos}\bigl(-\sin(x)\bigr)+2k\pi,
para todo x.

Passo 5

Para c=1:
\cos(y)=1-\sin(x).
Impondo -1\le1-\sin(x)\le1 obtemos
0\le\sin(x)\le2,
ou seja \sin(x)\ge0. Assim as curvas são
y=\operatorname{arccos}\bigl(1-\sin(x)\bigr)+2k\pi \quad\text{e}\quad y=-\operatorname{arccos}\bigl(1-\sin(x)\bigr)+2k\pi,
válidas para x com \sin(x)\ge0.

Passo 6

Para c=\sqrt{2}:
\cos(y)=\sqrt{2}-\sin(x).
A condição -1\le\sqrt{2}-\sin(x)\le1 vira
\sin(x)\ge\sqrt{2}-1\quad(\approx0{,}414),
pois \sin(x)\le1 já satisfaz a outra desigualdade. Logo as curvas são
y=\operatorname{arccos}\bigl(\sqrt{2}-\sin(x)\bigr)+2k\pi \quad\text{e}\quad y=-\operatorname{arccos}\bigl(\sqrt{2}-\sin(x)\bigr)+2k\pi,
válidas para x com \sin(x)\ge\sqrt{2}-1.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=\sin(x)+\cos(y) para z=c são dadas, em cada caso, por
\cos(y)=c-\sin(x),
com as restrições em x listadas acima, e soluções
y=\operatorname{arccos}\bigl(c-\sin(x)\bigr)+2k\pi \quad\text{ou}\quad y=-\operatorname{arccos}\bigl(c-\sin(x)\bigr)+2k\pi.
Em resumo:
(a) Para c=-1: \sin(x)\le0.
(b) Para c=0: todo x.
(c) Para c=1: \sin(x)\ge0.
(d) Para c=\sqrt{2}: \sin(x)\ge\sqrt{2}-1.
O esboço mostra, em cada faixa permitida de x, duas “ondas” periódicas em y.

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