Dada as funções abaixo,encontre as curvas de nível e esboce essas curvas no plano
.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as curvas de nível da função
para os valores de nível
e esboçá-las no plano
. O conteúdo aqui é o conceito de curva de nível, que consiste no conjunto de pontos
tais que
. Vamos usar a identidade
e isolar
, lembrando que é preciso garantir que o termo isolado esteja em
.
Passo 2
Escrevendo a equação geral da curva de nível para
:
Como
, impomos
o que restringe o domínio de
. Para cada
, as soluções em
são
com
.
Passo 3
Para
:
O domínio é dado por
Logo as curvas são
válidas somente para
tais que
.
Passo 4
Para
:
Como
vale para todo
, não há restrição adicional. As curvas são
para todo
.
Passo 5
Para
:
Impondo
obtemos
ou seja
. Assim as curvas são
válidas para
com
.
Passo 6
Para
:
A condição
vira
pois
já satisfaz a outra desigualdade. Logo as curvas são
válidas para
com
.
Resposta
As curvas de nível de
para
são dadas, em cada caso, por
com as restrições em
listadas acima, e soluções
Em resumo:
(a) Para
:
.
(b) Para : todo
.
(c) Para :
.
(d) Para :
.
(b) Para
(c) Para
(d) Para
O esboço mostra, em cada faixa permitida de
, duas “ondas” periódicas em
.