Dada as funções abaixo,encontre as curvas de nível e esboce essas curvas no plano x y
h(x, y)=e^{x+y} e z=1, e, e^{2}, e^{-1}

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da função
h(x,y)=e^{x+y}
para os valores de z=1, z=e, z=e^{2} e z=e^{-1}.
Isso envolve conceito de curva de nível: resolver h(x,y)=\text{constante} e obter relações entre x e y.

Passo 2

Para uma constante arbitrária z, a curva de nível satisfaz
e^{x+y}=z.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
x+y=\ln z.

Passo 3

Aplicando aos casos dados:
Para z=1 temos \ln1=0, logo
x+y=0.
Para z=e temos \ln e=1, logo
x+y=1.
Para z=e^{2} temos \ln e^{2}=2, logo
x+y=2.
Para z=e^{-1} temos \ln e^{-1}=-1, logo
x+y=-1.

Passo 4

Cada uma dessas equações é uma reta de coeficiente angular -1. No plano xy:
  • A reta x+y=c cruza o eixo y em (0,c) e o eixo x em (c,0).
  • As quatro curvas são, portanto, retas paralelas, deslocadas verticalmente pelos valores c=0,1,2,-1.
Para esboçar, basta desenhar no mesmo sistema cartesiano as retas de equação y=-x+c com c\in\{0,1,2,-1\}.

Resposta

Para z=1: \{(x,y)\mid x+y=0\}
Para z=e: \{(x,y)\mid x+y=1\}
Para z=e^{2}: \{(x,y)\mid x+y=2\}
Para z=e^{-1}: \{(x,y)\mid x+y=-1\}

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