Dada as funções abaixo,encontre as curvas de nível e esboce essas curvas no plano x y
f(x, y)=2 x+y e z=-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as curvas de nível da função
f(x,y)=2x+y
para os valores de z=-1,0,1,2, e em seguida esboçar essas curvas no plano xy. O conteúdo aqui é “curva de nível” em funções de duas variáveis, que exige simplesmente resolver f(x,y)=\text{constante}.

Passo 2

Por definição, a curva de nível associada ao valor z é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=z.
No nosso caso, isso significa resolver
2x+y=z
para cada z dado.

Passo 3

Isolando y em função de x e de z, obtemos
y = -2x + z.
Agora basta substituir z=-1,0,1,2:
Para z=-1:
y=-2x-1.
Para z=0:
y=-2x.
Para z=1:
y=-2x+1.
Para z=2:
y=-2x+2.

Passo 4

Cada uma dessas equações é uma reta de coeficiente angular -2 e intercepto no eixo y igual a z. No esboço:
1. Todas as retas são paralelas, “caem” com inclinação negativa.
2. A reta de nível z corta o eixo y em (0,z).
3. Por exemplo, para z=2 a reta passa por (0,2) e tem declive -2.

Resposta

As curvas de nível são as retas
y=-2x-1,\quad y=-2x,\quad y=-2x+1,\quad y=-2x+2,
respectivamente para z=-1,0,1,2.

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