Dada as funções abaixo,encontre as curvas de nível e esboce essas curvas no plano x y
q(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e z=0,1,2,3

Passo 1

O enunciado define a função
q(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e pede as curvas de nível para os valores z=0,1,2,3. O conteúdo aqui é estudo de curvas de nível (ou contornos) de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Curva de nível para um valor fixo z é o conjunto de pontos (x,y) tais que
q(x,y)=z.
No nosso caso isso dá
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=z.

Passo 3

Elevação ao quadrado de ambos os lados:
x^{2}+y^{2}=z^{2}.
Portanto, para cada z\ge0, a curva de nível é a circunferência centrada na origem de raio \lvert z\rvert.

Passo 4

Analisando cada valor de z:
Para z=0:
x^{2}+y^{2}=0
isso ocorre só em (x,y)=(0,0), ou seja, um ponto.

Passo 5

Para z=1:
x^{2}+y^{2}=1^{2}=1,
é a circunferência de raio 1 centrada na origem.

Passo 6

Para z=2:
x^{2}+y^{2}=2^{2}=4,
é a circunferência de raio 2 centrada na origem.

Passo 7

Para z=3:
x^{2}+y^{2}=3^{2}=9,
é a circunferência de raio 3 centrada na origem.

Resposta

As curvas de nível são:
x^{2}+y^{2}=0,\quad x^{2}+y^{2}=1,\quad x^{2}+y^{2}=4,\quad x^{2}+y^{2}=9,
isto é, um ponto na origem e três circunferências concêntricas de raios 1, 2 e 3. No plano xy elas aparecem como círculos centrados em (0,0) com esses respectivos raios.

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