Dada as funções
encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, esboce o gráfico desta função
, e se possível, localize pontos de máximos e mínimos, as raízes e intercepto com eixo y.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função
. Vou listar claramente o que é solicitado e o que a própria função já nos dá:
- Pedir: encontrar o conjunto domínio de
. - Pedir: encontrar o conjunto imagem (os valores possíveis de
). - Pedir: esboçar o gráfico de
. - Pedir: localizar pontos de máximos e mínimos (se existirem).
- Pedir: encontrar as raízes (soluções de
). - Pedir: encontrar o intercepto com o eixo
(valor de ).
Informação dada explicitamente:
- A expressão da função é
.
Passo 2
Vamos entender bem o que é o valor absoluto, porque ele manda toda a solução. Definição e ideia prática:
- Para qualquer número real
Explicando com jeitinho:
até
na reta. Isso significa que
para todo
. Aplicando isso com
teremos a forma peça a peça da função.]
Passo 3
Determinar o domínio. Observação:
- A operação que aparece em
é o valor absoluto (que está definido para todo número real) e soma com . Não há divisão por zero, nem raiz de índice par de número negativo, nem logaritmo etc. Logo a função está definida para todo .
Portanto o domínio é.
Passo 4
Escrever a função de forma peça a peça (isto ajuda a analisar e desenhar):
Como [|x-7|) se comporta diferente dependendo do sinal de
, temos duas situações.
- Se
então . Assim
- Se
então . Assim
Resumo peça a peça:
Cheque rápido no ponto de união
; pela primeira peça o limite à esquerda em
é
. Portanto a função é contínua em
e o valor ali é
.]
Passo 5
Analisar as retas que compõem a função (pendentes, monotonicidade e comportamento):
- Para
a função é . Isso é uma reta com coeficiente angular (pendente) . Então nessa região é estritamente decrescente quando aumenta para a direita. - Para
a função é . Isso é uma reta com coeficiente angular . Então nessa região é estritamente crescente quando aumenta.
Por isso o gráfico tem formato de “V”: decresce até
e cresce depois de
. Conclusão imediata sobre extremos:
- Em
ocorre o ponto mais baixo do “V” (vértice). É um mínimo global. - Não existe máximo global porque as retas crescem sem limite quando
(o valor de cresce indefinidamente para na peça e para na peça ).
Calcular o valor mínimo:
Então o ponto de mínimo é
e o valor mínimo (imagem mínima) é
.
Passo 6
Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis):
- Como
é o menor valor (vimos que é mínimo global) e a função cresce sem limite para valores maiores, os valores possíveis são todos os números reais maiores ou iguais a .
Logo a imagem é.
Passo 7
Encontrar as raízes (soluções de
):
- Resolver
. Subtraindo temos . - Mas
para todo , então não tem solução real.
Conclusão: a função não tem raízes reais (não cruza o eixo).
Passo 8
Calcular o intercepto com o eixo
(valor em
):
Então o intercepto com o eixo
é o ponto
.
Passo 9
Como esboçar o gráfico na prova (passo a passo prático, sem necessidade de calculadora):
- Marque o vértice em
. - Para a esquerda de
desenhe a reta de equação (pendente ). Dois pontos fáceis: (já calculado) e . Ligue esses pontos até o vértice. - Para a direita de
desenhe a reta de equação (pendente ). Dois pontos fáceis: e . Ligue esses pontos a partir do vértice. - O resultado é um “V” com vértice em
, ramo esquerdo com inclinação e ramo direito com inclinação . Não há cruzamento com o eixo ; o cruzamento com o eixo é .
Dica mental rápida:
é o gráfico de
deslocado 7 unidades para a direita e 1 unidade para cima.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Ponto de mínimo: com valor mínimo
Máximo: não existe (não há máximo global)
Raízes (zeros): nenhuma (nenhuma solução real)
Intercepto com o eixo :
Imagem:
Ponto de mínimo:
Máximo: não existe (não há máximo global)
Raízes (zeros): nenhuma (nenhuma solução real)
Intercepto com o eixo