Dada as funções f(x) encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, esboce o gráfico desta função y=f(x), e se possível, localize pontos de máximos e mínimos, as raízes e intercepto com eixo y.
f(x)=|x-7|+1

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a função f(x)=|x-7|+1. Vou listar claramente o que é solicitado e o que a própria função já nos dá:
  • Pedir: encontrar o conjunto domínio de f.
  • Pedir: encontrar o conjunto imagem (os valores possíveis de f).
  • Pedir: esboçar o gráfico de y=f(x).
  • Pedir: localizar pontos de máximos e mínimos (se existirem).
  • Pedir: encontrar as raízes (soluções de f(x)=0).
  • Pedir: encontrar o intercepto com o eixo y (valor de f(0)).
Informação dada explicitamente:
  • A expressão da função é f(x)=|x-7|+1.

Passo 2

Vamos entender bem o que é o valor absoluto, porque ele manda toda a solução. Definição e ideia prática:
  • Para qualquer número real u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Explicando com jeitinho: |u|\] é a distância do número \(u até 0 na reta. Isso significa que |u|\ge 0 para todo u. Aplicando isso com u=x-7 teremos a forma peça a peça da função.]

Passo 3

Determinar o domínio. Observação:
  • A operação que aparece em f(x)=|x-7|+1 é o valor absoluto (que está definido para todo número real) e soma com 1. Não há divisão por zero, nem raiz de índice par de número negativo, nem logaritmo etc. Logo a função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
    Portanto o domínio é \mathbb{R}.

Passo 4

Escrever a função de forma peça a peça (isto ajuda a analisar e desenhar):
Como [|x-7|) se comporta diferente dependendo do sinal de x-7, temos duas situações.
  • Se x\ge 7 então |x-7|=x-7. Assim
f(x)=|x-7|+1 = (x-7)+1 = x-6,\qquad \text{para } x\ge 7.
  • Se x<7 então |x-7|=7-x. Assim
f(x)=|x-7|+1 = (7-x)+1 = 8-x,\qquad \text{para } x<7.
Resumo peça a peça:
f(x)= \begin{cases} 8-x, & x<7,\\[4pt] x-6, & x\ge 7. \end{cases}
Cheque rápido no ponto de união x=7\]: pela segunda peça \(f(7)=7-6=1; pela primeira peça o limite à esquerda em x\to7^- é 8-7=1. Portanto a função é contínua em x=7 e o valor ali é 1.]

Passo 5

Analisar as retas que compõem a função (pendentes, monotonicidade e comportamento):
  • Para x<7 a função é f(x)=8-x. Isso é uma reta com coeficiente angular (pendente) -1. Então nessa região f é estritamente decrescente quando x aumenta para a direita.
  • Para x\ge7 a função é f(x)=x-6. Isso é uma reta com coeficiente angular +1. Então nessa região f é estritamente crescente quando x aumenta.
Por isso o gráfico tem formato de “V”: decresce até x=7 e cresce depois de x=7. Conclusão imediata sobre extremos:
  • Em x=7 ocorre o ponto mais baixo do “V” (vértice). É um mínimo global.
  • Não existe máximo global porque as retas crescem sem limite quando |x|\to\infty (o valor de f cresce indefinidamente para x\to -\infty na peça 8-x e para x\to +\infty na peça x-6).
Calcular o valor mínimo:
f(7)=1.
Então o ponto de mínimo é (7,1) e o valor mínimo (imagem mínima) é 1.

Passo 6

Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis):
  • Como f(7)=1 é o menor valor (vimos que é mínimo global) e a função cresce sem limite para valores maiores, os valores possíveis são todos os números reais maiores ou iguais a 1.
    Logo a imagem é [1,\infty).

Passo 7

Encontrar as raízes (soluções de f(x)=0):
  • Resolver |x-7|+1=0. Subtraindo 1 temos |x-7|=-1.
  • Mas |x-7|\ge 0 para todo x, então |x-7|=-1 não tem solução real.
    Conclusão: a função não tem raízes reais (não cruza o eixo x).

Passo 8

Calcular o intercepto com o eixo y (valor em x=0):
f(0)=|0-7|+1 = 7+1 = 8.
Então o intercepto com o eixo y é o ponto (0,8).

Passo 9

Como esboçar o gráfico na prova (passo a passo prático, sem necessidade de calculadora):
  1. Marque o vértice em (7,1).
  2. Para a esquerda de x=7 desenhe a reta de equação y=8-x (pendente -1). Dois pontos fáceis: (0,8) (já calculado) e (1,7). Ligue esses pontos até o vértice.
  3. Para a direita de x=7 desenhe a reta de equação y=x-6 (pendente +1). Dois pontos fáceis: (8,2) e (9,3). Ligue esses pontos a partir do vértice.
  4. O resultado é um “V” com vértice em (7,1), ramo esquerdo com inclinação -1 e ramo direito com inclinação +1. Não há cruzamento com o eixo x; o cruzamento com o eixo y é (0,8).
Dica mental rápida: |x-7|+1 é o gráfico de |x| deslocado 7 unidades para a direita e 1 unidade para cima.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [1,\infty)
Ponto de mínimo: (7,1) com valor mínimo f(7)=1
Máximo: não existe (não há máximo global)
Raízes (zeros): nenhuma (nenhuma solução real)
Intercepto com o eixo y: (0,8)

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