Dada as funções f(x) encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, esboce o gráfico desta função y=f(x), e se possível, localize pontos de máximos e mínimos, as raízes e intercepto com eixo y. f(x)=\left|6+3 x-3 x^{2}\right|
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função
f(x)=\left|6+3x-3x^{2}\right|.
Vou listar claramente o que devemos encontrar:
O conjunto domínio de f.
O conjunto imagem (range) de f.
Esboçar o gráfico de y=f(x).
Localizar pontos de máximos e mínimos (locais e globais, quando existirem).
Encontrar as raízes (zeros) f(x)=0.
Encontrar o intercepto com o eixo y (ou seja, f(0)).
Informações que o enunciado dá (já escritas de forma útil):
A expressão algébrica de f é f(x)=\left|6+3x-3x^{2}\right|.
Nada mais foi dado; tudo o que precisamos pode ser obtido a partir dessa expressão.
Passo 2
Primeiro simplificamos e estudamos a expressão interna ao valor absoluto. Defina
Essa forma f(x)=3|x-2||x+1| é útil porque mostra zeros e simetrias de forma clara.
Passo 3
Domínio de f.
Como q(x) é um polinômio e o valor absoluto está definido para todo número real, a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Explicação curta: polinômios não têm divisão por zero nem raiz par de número negativo na fórmula original; o valor absoluto só usa valores reais, então não há restrição.
Passo 4
Encontrar as raízes (zeros) de f.
Raiz de f acontece quando f(x)=0. Como f(x)=|q(x)|\ge 0, isso ocorre exatamente quando q(x)=0. Resolvendo
q(x)=-3(x-2)(x+1)=0
obtém-se as raízes
x=-1\quad\text{e}\quad x=2.
Portanto os zeros são os pontos (-1,0) e (2,0).
Comentário: ambos são raízes simples de q (multiplicidade 1), o que significa que q muda de sinal ao atravessá-las; em f=|q| isso gera cantos (kinks) mínimos em zero.
Passo 5
Análise do sinal de q(x) e interpretação geométrica do valor absoluto.
Como q(x)=-3(x-2)(x+1) e o coeficiente de x^{2} é negativo, q é uma parábola côncava para baixo. Nos intervalos:
Para x\in(-1,2): (x-2)(x+1)<0 faz q(x)>0.
Para x\le -1 ou x\ge 2: (x-2)(x+1)\ge 0 e com o fator -3 temos q(x)\le 0.
Consequência para f(x)=|q(x)|:
Em -1\le x\le 2 (mais precisamente no intervalo aberto (-1,2), e também nos pontos -1,2 onde vale 0) temos f(x)=q(x) (pois q\ge0 ali).
Em x\le -1 e x\ge 2 temos f(x)=-q(x) (pois q\le0 ali e o módulo inverte o sinal).
Geometricamente: pegue a parábola q(x) (côncava para baixo) e faça refletir as partes que ficam abaixo do eixo x para cima; o resultado é o gráfico de f. Assim o gráfico tem um “bump” (trecho parabólico para baixo) entre -1 e 2 e, fora desse intervalo, tem ramos parabólicos abertos para cima (resultantes da reflexão).
Passo 6
Determinar o vértice da parábola q(x) (que dará o máximo local dentro de (-1,2)).
Para uma parábola ax^{2}+bx+c o x-do-vértice é x_v=-\dfrac{b}{2a}. Aqui q(x)=-3x^{2}+3x+6, então a=-3 e b=3. Logo
Interpretação: x=\tfrac{1}{2} é um ponto de máximo local (e também o máximo no trecho central (-1,2)). Não é máximo global porque para |x|\to\infty a função cresce sem limite (ver passo seguinte).
Passo 7
Comportamento para |x| grande e imagem (range).
Observe que para |x| grande o termo dominante de f vem de 3x^{2} na expressão f(x)=3|x-2||x+1|. De fato, para grandes |x|,
f(x)\sim 3x^{2}\to +\infty.
Portanto f não tem máximo global — cresce para +\infty nos dois extremos.
Como f(x)\ge 0 para todo x (por definição do valor absoluto) e atinge o valor 0 nas raízes x=-1 e x=2, segue que a imagem (conjunto das imagens) é
\text{Im}(f)=[0,\infty).
Explicação: a função toma todos os valores não negativos porque é contínua por partes e vai até infinito.
Passo 8
Identificação dos pontos de máximos, mínimos e do intercepto em y, com justificativas.
Raízes (zeros): x=-1 e x=2. Pontos (-1,0) e (2,0).
Justificativa: resolvemos q(x)=0 no Passo 4.
Mínimos:
Valores mínimos globais: f(-1)=0 e f(2)=0. Esses são mínimos globais (a menor imagem possível é 0).
Natureza: em cada uma dessas raízes o gráfico tem um canto (o derivado lateral é diferente), porque q muda de sinal e tomamos o módulo. Portanto são mínimos, mas com derivada não definida (cantos).
Máximos:
Não existe máximo global, pois f(x)\to\infty quando |x|\to\infty.
Existe um máximo local no trecho interno: em x=\tfrac{1}{2} com valor f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{27}{4}. Justificativa: é o vértice da parábola q onde q>0, e dentro do intervalo (-1,2) a função segue q, portanto é um máximo local (segundo derivada de q negativa).
Intercepto com o eixo y (valor em x=0):
f(0)=\bigl|6+3\cdot 0-3\cdot 0^{2}\bigr|=|6|=6.
Intercepto y é o ponto (0,6).
Passo 9
Como esboçar o gráfico (instruções práticas para desenhar na prova, passo a passo).
Marque os pontos fundamentais:
Zeros: (-1,0) e (2,0).
Vértice interno: \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{27}{4}\bigr) (ou seja (0{,}5,6{,}75)).
Intercepto y: (0,6).
Entre -1 e 2: desenhe o arco da parábola q(x)=-3x^{2}+3x+6 que é côncava para baixo, passando pelo vértice em \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{27}{4}\bigr) e pelos pontos (-1,0) e (2,0).
Para x\le -1 e x\ge 2: desenhe as “ramos” obtidos ao refletir a parte de q que estava abaixo do eixo x. Equivalente: desenhe a parábola 3x^{2}-3x-6 (que é -q(x)) nesses intervalos; essa parábola é côncava para cima e se junta ao trecho central em cantos nos pontos (-1,0) e (2,0).
Observe que o gráfico é contínuo (valor absoluto de polinômio é contínuo), com cantos em -1 e 2 (derivada não definida nesses pontos).
Para |x| grande faça o gráfico subir como 3x^{2} — ramos que vão para +\infty.
Seguindo esses passos obtém-se um esboço correto: um “morango” (bump) entre -1 e 2 com pico em x=\tfrac{1}{2}, e duas hastes parabólicas subindo à esquerda de -1 e à direita de 2.
Resposta
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Raízes: x=-1 e x=2 (pontos (-1,0) e (2,0))
Intercepto com eixo y: f(0)=6 (ponto (0,6))
Máximo local: x=\tfrac{1}{2} com f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{27}{4}
Mínimos: mínimos globais em x=-1 e x=2 com f(-1)=f(2)=0
Máximo global: não existe ( f(x)\to\infty quando |x|\to\infty )