Dada as funções
encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, esboce o gráfico desta função
, e se possível, localize pontos de máximos e mínimos, as raízes e intercepto com eixo y.
Passo 1
O enunciado fornece a função
dada por
As tarefas do exercício são:
- Determinar o conjunto domínio de
. - Determinar o conjunto imagem (ou contradomínio efetivo) de
. - Esboçar o gráfico da função
. - Localizar pontos de máximos e mínimos (se existirem).
- Encontrar as raízes (zeros) da função.
- Encontrar o intercepto com o eixo
.
Passo 2
Entendendo o que é domínio e como decidir neste caso.
Definição prática: o domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido (não causa divisão por zero, raiz par de número negativo, logaritmo de número não-positivo, etc.).
Aplicando isso a
:
- A expressão
é um polinômio do 1º grau. Polinômios estão definidos para todo (não há denominador, raiz ou log).
Portanto o domínio é
Passo 3
Entendendo imagem (conjunto imagem) e como decidir.
Definição prática: a imagem (ou conjunto de valores assumidos por
) é o conjunto de valores
tais que existe algum
com
. Para ver se um valor
pertence à imagem, resolve-se a equação
e verifica-se se há solução em
dentro do domínio.
Procedimento algébrico: dado um
qualquer, isola-se
:
Para qualquer
a expressão
é um número real, logo existe um
que produz esse
. Portanto a imagem é
Comentário didático curto: funções lineares
com
são bijetoras entre
e
— isto é, domínio e imagem são ambos
.
Passo 4
Encontrando as raízes (zeros) da função — método passo a passo.
Raiz é o
tal que
. Começa-se com:
Isola-se
:
Logo a função tem uma única raiz em
, correspondente ao ponto no plano cartesiano
.
Passo 5
Encontrando o intercepto com o eixo
— método passo a passo.
O intercepto com o eixo
é o ponto onde
. Calcula-se
:
Portanto o intercepto com o eixo
é o ponto
.
Passo 6
Determinar máximos e mínimos (existem?) e monotonicidade — explicação detalhada.
Observação: uma reta não tem ponto de máximo ou mínimo (nem local nem global) quando seu domínio é todo
, salvo se a reta for constante. Aqui o coeficiente angular (inclinação) é
, diferente de zero, então a reta não é constante.
Prova elementar de que não há extremos (usando diferença de valores):
Tome . Então
Tome
Como
, tem-se
. Então
para todo
: a função é estritamente decrescente em todo
. Por ser estritamente decrescente em domínio infinito, não há máximo nem mínimo (não existem pontos onde a função atinge maior ou menor valor absoluto em todo
).
(Observação alternativa rápida: a derivada é
, o que também indica decrescimento constante — mas a prova anterior é puramente algébrica e suficiente.)
Passo 7
Como esboçar o gráfico — passo a passo prático para desenhar na prova.
- Identificar dois pontos fáceis para traçar a reta:
- Intercepto com
: (já calculado). - Raiz:
.
Esses dois pontos são suficientes para traçar a reta.
- Intercepto com
- Verificar a inclinação:
consistente com o coeficiente angular de . - Desenho (procedimento): marcar no plano os pontos
e , traçar a reta que passa por eles e prolongar com setas em ambas as extremidades (pois o domínio é todo ). A reta vai do quadrante superior esquerdo para o inferior direito, indicando decrescimento. - Se quiser mais um ponto de verificação:
, então também está na reta.
Dica prática para prova: sempre que a função for linear, dois pontos não-colineares bastam para o esboço. Use interceptos e uma verificação de inclinação.
Passo 8
Resumo e pontos importantes (para memorizar e usar na prova rapidamente):
- Domínio: todos os reais.
- Imagem: todos os reais.
- Raiz:
(ponto ). - Intercepto com eixo
: . - Monotonicidade: estritamente decrescente (não existe máximo nem mínimo).
- Gráfico: reta de coeficiente angular
passando pelos pontos e , com setas nas extremidades.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Raiz:
Intercepto com eixo :
Máximos e mínimos: não existem (função estritamente decrescente)
Gráfico: reta de inclinação passando por
e
Imagem:
Raiz:
Intercepto com eixo
Máximos e mínimos: não existem (função estritamente decrescente)
Gráfico: reta de inclinação