Dada as funções f(x) encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, esboce o gráfico desta função y=f(x), e se possível, localize pontos de máximos e mínimos, as raízes e intercepto com eixo y.
f(x)=-3 x-6

Passo 1

O enunciado fornece a função f dada por
f(x) = -3x - 6.
As tarefas do exercício são:
  • Determinar o conjunto domínio de f.
  • Determinar o conjunto imagem (ou contradomínio efetivo) de f.
  • Esboçar o gráfico da função y=f(x).
  • Localizar pontos de máximos e mínimos (se existirem).
  • Encontrar as raízes (zeros) da função.
  • Encontrar o intercepto com o eixo y.

Passo 2

Entendendo o que é domínio e como decidir neste caso.
Definição prática: o domínio de uma função são todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (não causa divisão por zero, raiz par de número negativo, logaritmo de número não-positivo, etc.).
Aplicando isso a f(x) = -3x - 6:
  • A expressão -3x-6 é um polinômio do 1º grau. Polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R} (não há denominador, raiz ou log).
    Portanto o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Entendendo imagem (conjunto imagem) e como decidir.
Definição prática: a imagem (ou conjunto de valores assumidos por f) é o conjunto de valores y tais que existe algum x com y=f(x). Para ver se um valor y_0 pertence à imagem, resolve-se a equação y_0=-3x-6 e verifica-se se há solução em x dentro do domínio.
Procedimento algébrico: dado um y qualquer, isola-se x:
y = -3x - 6 \quad\Rightarrow\quad -3x = y + 6 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{y+6}{3}.
Para qualquer y\in\mathbb{R} a expressão -\dfrac{y+6}{3} é um número real, logo existe um x\in\mathbb{R} que produz esse y. Portanto a imagem é
\text{Im}(f)=\mathbb{R}.
Comentário didático curto: funções lineares f(x)=ax+b com a\neq 0 são bijetoras entre \mathbb{R} e \mathbb{R} — isto é, domínio e imagem são ambos \mathbb{R}.

Passo 4

Encontrando as raízes (zeros) da função — método passo a passo.
Raiz é o x tal que f(x)=0. Começa-se com:
0 = -3x - 6.
Isola-se x:
-3x = 6 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{6}{3} = -2.
Logo a função tem uma única raiz em x=-2, correspondente ao ponto no plano cartesiano (-2,\,0).

Passo 5

Encontrando o intercepto com o eixo y — método passo a passo.
O intercepto com o eixo y é o ponto onde x=0. Calcula-se f(0):
f(0)= -3\cdot 0 - 6 = -6.
Portanto o intercepto com o eixo y é o ponto (0,\,-6).

Passo 6

Determinar máximos e mínimos (existem?) e monotonicidade — explicação detalhada.
Observação: uma reta não tem ponto de máximo ou mínimo (nem local nem global) quando seu domínio é todo \mathbb{R}, salvo se a reta for constante. Aqui o coeficiente angular (inclinação) é -3, diferente de zero, então a reta não é constante.
Prova elementar de que não há extremos (usando diferença de valores):
Tome x_1<x_2. Então
f(x_2)-f(x_1) = (-3x_2-6)-(-3x_1-6) = -3(x_2-x_1).
Como x_2-x_1>0, tem-se -3(x_2-x_1)<0. Então f(x_2)<f(x_1) para todo x_1<x_2: a função é estritamente decrescente em todo \mathbb{R}. Por ser estritamente decrescente em domínio infinito, não há máximo nem mínimo (não existem pontos onde a função atinge maior ou menor valor absoluto em todo \mathbb{R}).
(Observação alternativa rápida: a derivada é f'(x)=-3<0, o que também indica decrescimento constante — mas a prova anterior é puramente algébrica e suficiente.)

Passo 7

Como esboçar o gráfico — passo a passo prático para desenhar na prova.
  1. Identificar dois pontos fáceis para traçar a reta:
    • Intercepto com y: (0,\,-6) (já calculado).
    • Raiz: (-2,\,0).
      Esses dois pontos são suficientes para traçar a reta.
  2. Verificar a inclinação: m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-6-0}{0-(-2)} = \frac{-6}{2} = -3,consistente com o coeficiente angular de f.
  3. Desenho (procedimento): marcar no plano os pontos (-2,0) e (0,-6), traçar a reta que passa por eles e prolongar com setas em ambas as extremidades (pois o domínio é todo \mathbb{R}). A reta vai do quadrante superior esquerdo para o inferior direito, indicando decrescimento.
  4. Se quiser mais um ponto de verificação: f(1)=-3\cdot1-6=-9, então (1,-9) também está na reta.
Dica prática para prova: sempre que a função for linear, dois pontos não-colineares bastam para o esboço. Use interceptos e uma verificação de inclinação.

Passo 8

Resumo e pontos importantes (para memorizar e usar na prova rapidamente):
  • Domínio: todos os reais.
  • Imagem: todos os reais.
  • Raiz: x=-2 (ponto (-2,0)).
  • Intercepto com eixo y: (0,-6).
  • Monotonicidade: estritamente decrescente (não existe máximo nem mínimo).
  • Gráfico: reta de coeficiente angular -3 passando pelos pontos (-2,0) e (0,-6), com setas nas extremidades.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}
Raiz: (-2,\,0)
Intercepto com eixo y: (0,\,-6)
Máximos e mínimos: não existem (função estritamente decrescente)
Gráfico: reta de inclinação -3 passando por (-2,0) e (0,-6)

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