Dada as funções escalares.
obtenha
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a divergência do gradiente de uma função escalar $ V®
\nabla V
\nabla \cdot $). Vamos precisar entender como calcular o gradiente de $ V $ e depois aplicar a divergência nesse resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de $ V® $. O gradiente de uma função escalar nos dá um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujo módulo é a taxa de variação nessa direção.
A função dada é:
Para calcular o gradiente, usamos a fórmula em coordenadas esféricas, já que $ V $ depende apenas da distância $ r $:
Calculando a derivada de $ V $ em relação a $ r $:
Então, o gradiente de $ V $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência desse gradiente, ou seja, $ \nabla \cdot (\nabla V) $. A divergência de um vetor mede o quanto ele “espalha” a partir de um ponto.
Para um vetor radial como $ \nabla V $, a divergência em coordenadas esféricas é dada por:
Onde $ A_{r} $ é a componente radial do vetor $ \vec{A} $.
Substituindo $ A_{r} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} $:
Simplificando dentro da derivada:
A derivada de uma constante é zero:
Portanto: