Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais:
onde
é um versor (módulo unitário).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente da função vetorial dada:
, onde
é um versor, ou seja, um vetor com módulo igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a operação de divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial mede o quanto esse campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Matematicamente, em coordenadas esféricas, o divergente de um vetor
é dado por:
No nosso caso, a função vetorial
tem apenas a componente radial
e as outras componentes são zero.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula do divergente. Como
e
, as últimas duas parcelas da fórmula desaparecem. Então, precisamos calcular apenas:
Passo 4
Agora, vamos simplificar dentro da derivada:
Então, a expressão fica:
Passo 5
A derivada de 1 em relação a
é zero:
Portanto:
Resposta
O divergente da função vetorial
é zero.