Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais:
V=widehatrr^2 onde widehatr é um versor (módulo unitário).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente da função vetorial dada: V = widehatrr^2, onde widehatr é um versor, ou seja, um vetor com módulo igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a operação de divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o divergente. O divergente de um campo vetorial mede o quanto esse campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Matematicamente, em coordenadas esféricas, o divergente de um vetor V = Vr widehatr + Vtheta widehattheta + Vphi widehatphi é dado por:
nabla cdot V = 1r^2 partialpartial r (r^2 Vr) + 1r sin theta partialpartial theta (Vtheta sin theta) + 1r sin theta partial Vphipartial phi
No nosso caso, a função vetorial V tem apenas a componente radial Vr = 1r^2 e as outras componentes são zero.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do divergente. Como Vtheta = 0 e Vphi = 0, as últimas duas parcelas da fórmula desaparecem. Então, precisamos calcular apenas:
nabla cdot V = 1r^2 partialpartial r (r^2 cdot 1r^2)

Passo 4

Agora, vamos simplificar dentro da derivada:
r^2 cdot 1r^2 = 1
Então, a expressão fica:
nabla cdot V = 1r^2 partialpartial r (1)

Passo 5

A derivada de 1 em relação a r é zero:
partialpartial r (1) = 0
Portanto:
nabla cdot V = 1r^2 cdot 0 = 0

Resposta

O divergente da função vetorial V = widehatrr^2 é zero.
nabla cdot V = 0

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