Dada as funções escalares.
V(r)=-li4 pi varepsilon0^1 qr obtenha nabla cdot(nabla V)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do gradiente de um potencial escalar radial parecido com o potencial de Coulomb V(r) = -q4pivarepsilon0,1r. O assunto aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o Laplaciano de uma função que depende apenas de r, e vamos precisar usar a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para funções radiais e o resultado de distribuição envolvendo a delta de Dirac.

Passo 2

Para qualquer função radial V(r), o Laplaciano é dado por
nabla^2 V(r) = 1r^2ddrl(r^2dVdrr)
Vamos aplicar essa fórmula para nosso V(r).

Passo 3

Primeiro, calculamos a derivada de V(r):
V(r) = -q4pivarepsilon0,r^-1
dVdr = -q4pivarepsilon0(-1)r^-2 = q4pivarepsilon0,r^-2
Em seguida,
r^2dVdr = r^2cdotq4pivarepsilon0,r^-2 = q4pivarepsilon0
Derivando de novo,
ddrl(r^2dVdrr) = ddrl(q4pivarepsilon0r) = 0
e, portanto, para rneq0,
nabla^2V(r) = 1r^2cdot0 = 0

Passo 4

Porém, conhecendo o tratamento em teoria de distribuições, sabemos que
nabla^2l(1rr) = -4pi,de
Como nosso potencial tem o fator -q/(4pivarepsilon0), obtemos
nabla^2V(r) = -q4pivarepsilon0,nabla^2l(1rr) = -q4pivarepsilon0(-4pi),de

Resposta

nablacdot(nabla V) = qvarepsilon0,de, sendo zero para rneq0.

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