Dada as funções escalares.
obtenha
Passo 1
O enunciado pede para calcular o divergente do gradiente de um potencial escalar radial parecido com o potencial de Coulomb
. O assunto aqui é cálculo vetorial, mais especificamente o Laplaciano de uma função que depende apenas de
, e vamos precisar usar a expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas para funções radiais e o resultado de distribuição envolvendo a delta de Dirac.
Passo 2
Para qualquer função radial
, o Laplaciano é dado por
Vamos aplicar essa fórmula para nosso
.
Passo 3
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Em seguida,
Derivando de novo,
e, portanto, para
,
Passo 4
Porém, conhecendo o tratamento em teoria de distribuições, sabemos que
Como nosso potencial tem o fator
, obtemos