integral0^2 pi integral0^arccos (3 / 5) integral3 sec phi^5 rho^2 sen phi d rho d phi d theta

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral integral0^2pi!integral0^arccos(3/5)!integral3secphi^5rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Isso é um integral em coordenadas esféricas, cujo objetivo é calcular o volume da região delimitada. Observamos que o limite inferior rho=3secphi vem do plano z=3, pois em esféricas z=rhocosphi=3 implica rho=3secphi. O limite rho=5 é a esfera de raio 5 e 0<=phi<=arccos(3/5) garante cosphi>=3/5. Logo, trata-se do volume de um calote esférico de raio R=5 e altura h=5-3=2.

Passo 2

Integramos primeiro em theta, pois a integranda não depende de theta:
integral0^2pidtheta=2pi
Fica
2piintegral0^arccos(3/5)integral3secphi^5rho^2sinphi,drho,dphi

Passo 3

Em seguida integramos em rho:
integral3secphi^5rho^2,drho=l[tfracrho^33r]3secphi^5=tfrac13l(125-27sec^3phir)
O integral torna-se
2piintegral0^arccos(3/5)tfrac13l(125-27sec^3phir)sinphi,dphi

Passo 4

Por fim, separamos em dois termos:
2pi3l[125integralsinphi,dphi-27integralsinphicos^3phi,dphir]
No segundo usamos u=cosphi. Avaliando de 0 a arccos(3/5) resulta
2pi3cdot263=52pi3

Resposta

52pi3

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