( 2,0 pontos) Calcule o valor da integral imprópria abaixo usando o método de substituição trigonométrica
Informe se ela converge ou diverge, justifique.
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria e dizer se ela converge ou diverge:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Informações dadas e pontos importantes:
  • A integral é definida em x\in[1,\infty).
  • O integrando tem singularidade no ponto x=1 porque \sqrt{x^{2}-1}=0 em x=1; por isso a integral é imprópria no limite inferior.
  • Também é imprópria no infinito por causa do limite superior infinito.
  • O enunciado pede uso do método de substituição trigonométrica.

Passo 2

Escolha da substituição trigonométrica e motivos (mini-aula):
  • Para expressões com \sqrt{x^{2}-1} é habitual usar a substituição \;x=\operatorname{sec}\theta\; porque a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta
nos garante que \sqrt{x^{2}-1} se transforma em uma função trigonométrica simples.
  • Vamos definir a substituição explicitamente:
x=\operatorname{sec}\theta.
  • Domínio: como x\ge 1, escolhemos \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}) (nesse intervalo \operatorname{sec}\theta\ge1).
  • Derivada e expressões auxiliares:
dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,
\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=\tan\theta.
  • Mapeamento dos limites:
x=1 \Longrightarrow \operatorname{sec}\theta=1 \Longrightarrow \theta=0,
x\to\infty \Longrightarrow \operatorname{sec}\theta\to\infty \Longrightarrow \theta\to\tfrac{\pi}{2}^{-}.

Passo 3

Substituição na integral — passo a passo:
  • Escrevo a integral como um limite impróprio (a manipulação será rigorosa via limites depois, mas primeiro faço a substituição formal):
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
  • Substituindo x=\operatorname{sec}\theta, dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta e \sqrt{x^{2}-1}=\tan\theta, o integrando fica:
\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \frac{1}{\operatorname{sec}\theta\cdot \tan\theta}\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta).
  • Simplificando o numerador e denominador:
\frac{1}{\operatorname{sec}\theta\cdot \tan\theta}\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta)=1\cdot d\theta=d\theta.
  • Portanto, após a substituição, a integral transforma-se (formalmente) em
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} d\theta.
Lembre-se que o limite superior é \tfrac{\pi}{2} tomado pela esquerda, porque x\to\infty \theta\to\tfrac{\pi}{2}^{-}.

Passo 4

Tratamento rigoroso da impropriedade por limites:
  • Defino a integral como limite:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \lim_{A\to\infty}\int_{1}^{A}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
  • Para cada A>1 aplico a substituição x=\operatorname{sec}\theta. O valor A corresponde a \theta_{A}=\arcsec(A) com 0<\theta_{A}<\tfrac{\pi}{2}. Assim
\int_{1}^{A}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \int_{0}^{\theta_{A}} d\theta = \theta_{A}-0=\theta_{A}.
  • Agora tomo limite quando A\to\infty. Como \theta_{A}=\arcsec(A)\to\tfrac{\pi}{2} quando A\to\infty, obtemos
\lim_{A\to\infty}\theta_{A}=\frac{\pi}{2}.
  • Portanto a integral imprópria converge e vale \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Verificação adicional do comportamento nas extremidades (intuição e garantia de convergência):
  • Perto de x=1^{+}: escrevendo x=1+h com h\to0^{+},
\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{(1+h)^{2}-1}=\sqrt{2h+h^{2}}\sim\sqrt{2h}.
Logo o integrando se comporta como
\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\sim\frac{1}{1\cdot\sqrt{2h}}\propto \frac{1}{\sqrt{h}}.
A integral \int_{0}^{\varepsilon} h^{-1/2}\,dh converge (é do tipo p-integral com p=\tfrac{1}{2}<1), logo a singularidade em x=1 é integrável.
  • Para x\to\infty: \sqrt{x^{2}-1}\sim x, então o integrando se comporta como \dfrac{1}{x\cdot x}=\dfrac{1}{x^{2}}. Como \int^{\infty} x^{-2}\,dx converge, a cauda no infinito também é integrável.
  • Essas duas observações corroboram que a integral é convergente; a substituição trigonométrica já deu o valor exato \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2} (a integral converge).

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