( 2,0 pontos) Calcule o valor da integral imprópria abaixo usando o método de substituição trigonométrica
Informe se ela converge ou diverge, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria e dizer se ela converge ou diverge:
Informações dadas e pontos importantes:
- A integral é definida em
. - O integrando tem singularidade no ponto
porque em ; por isso a integral é imprópria no limite inferior. - Também é imprópria no infinito por causa do limite superior infinito.
- O enunciado pede uso do método de substituição trigonométrica.
Passo 2
Escolha da substituição trigonométrica e motivos (mini-aula):
- Para expressões com
é habitual usar a substituição porque a identidade trigonométrica
nos garante que
se transforma em uma função trigonométrica simples.
- Vamos definir a substituição explicitamente:
- Domínio: como
, escolhemos (nesse intervalo ). - Derivada e expressões auxiliares:
- Mapeamento dos limites:
Passo 3
Substituição na integral — passo a passo:
- Escrevo a integral como um limite impróprio (a manipulação será rigorosa via limites depois, mas primeiro faço a substituição formal):
- Substituindo
, e , o integrando fica:
- Simplificando o numerador e denominador:
- Portanto, após a substituição, a integral transforma-se (formalmente) em
Lembre-se que o limite superior é
tomado pela esquerda, porque
dá
.
Passo 4
Tratamento rigoroso da impropriedade por limites:
- Defino a integral como limite:
- Para cada
aplico a substituição . O valor corresponde a com . Assim
- Agora tomo limite quando
. Como quando , obtemos
- Portanto a integral imprópria converge e vale
.
Passo 5
Verificação adicional do comportamento nas extremidades (intuição e garantia de convergência):
- Perto de
: escrevendo com ,
Logo o integrando se comporta como
A integral
converge (é do tipo
-integral com
), logo a singularidade em
é integrável.
- Para
: , então o integrando se comporta como . Como converge, a cauda no infinito também é integrável. - Essas duas observações corroboram que a integral é convergente; a substituição trigonométrica já deu o valor exato
.