Dada as funções seguintes, classifique-as em: I) injetora
II) sobrejetora
III) bijetora
IV) não é injetora nem sobrejetora: p(x)= 2 x & se x in Q [x] & se x in(R-Q)

Passo 1

A questão apresenta a função real a real definida por
p(x)= 2x &se xinQ,lfloor xrfloor &se xinRsetminusQ
Precisamos classificar se ela é injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma das anteriores, lembrando as definições: injetora (elementos distintos do domínio dão imagens distintas) e sobrejetora (toda imagem em R é atingida por algum x).

Passo 2

Para testar injetividade, note que, se escolhermos dois irracionais x1,x2 com lfloor x1rfloor=lfloor x2rfloor=n (por exemplo, qualquer x1,x2in(n,n+1)), temos
p(x1)=n= p(x2),
porém x1neq x2. Logo há pares distintos que têm a mesma imagem, e a função não é injetora.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, considere um valor yinR. Queremos p(x)=y. Se y for irracional, não há xinQ tal que 2x=y (pois implicaria x=y/2 irracional), e para x irracional temos p(x)=lfloor xrfloorinZsubsetQ, nunca igual a y. Logo nenhum irracional y tem pré-imagem, e a função não é sobrejetora.

Passo 4

Como falha tanto na injetividade como na sobrejetividade, concluímos que ela não é injetora nem sobrejetora.

Resposta

não é injetora nem sobrejetora

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