Esboce o gráfico das seguintes funções: y=sech(3 x).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de , que é a função secante hiperbólica de y=sech(3x). O conteúdo aqui é funções hiperbólicas, em especial , e vamos usar definições de 3x e propriedades de simetria e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, defina em termos da função cosseno hiperbólico:
E lembre-se de que
sech(3x)

Passo 3

Analise domínio, imagem e pontos-chave:
– Domínio: todos os reais, xinR.
– Imagem: 0, pois cosh(3x)>=1
– Ponto máximo: x=0.
– Limites nas extremidades:
logo há assíntota horizontal y=sech(0)=1.

Passo 4

Use a paridade e monotonicidade para esboçar a forma:
– Como cosh(3x) é função par, também é par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo sech(3x).
– A derivada
é positiva para y e negativa para ddxsech(3x)=-3,tanh(3x),sech(3x) , mostrando que a função sobe até x<0 e desce depois.

Passo 5

Com tudo isso, montamos o esboço:
– No ponto (0,1) temos o pico.
– Para valores de x como pm1, , já bem próximo de zero.
– O gráfico é uma “campânula” centrada em y=sech(3)approx0,1, decaindo rapidamente e ficando cada vez mais próximo de x=0 sem nunca tocar.

Passo 6

No esboço final, marque o ponto (0,1), desenhe a curva simétrica que cai rapidamente para baixo de 1 e aproxima-se de 0 quando xtopminfty, e indique a assíntota horizontal y=0.

Resposta

O gráfico de é uma curva em forma de campânula, simétrica em relação ao eixo y=sech(3x), com pico em y e que decai rapidamente para 0 conforme (0,1), tendo assíntota horizontal xtopminfty.

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