Esboce o gráfico das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de , que é a função secante hiperbólica de
. O conteúdo aqui é funções hiperbólicas, em especial , e vamos usar definições de
e propriedades de simetria e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, defina em termos da função cosseno hiperbólico:
E lembre-se de que
Passo 3
Analise domínio, imagem e pontos-chave:
– Domínio: todos os reais, .
– Imagem: , pois
– Ponto máximo: dá .
– Limites nas extremidades:
– Domínio: todos os reais,
– Imagem:
– Ponto máximo:
– Limites nas extremidades:
logo há assíntota horizontal
.
Passo 4
Use a paridade e monotonicidade para esboçar a forma:
– Como é função par, também é par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
– A derivada
– Como
– A derivada
é positiva para
e negativa para
, mostrando que a função sobe até
e desce depois.
Passo 5
Com tudo isso, montamos o esboço:
– No ponto temos o pico.
– Para valores de como
, , já bem próximo de zero.
– O gráfico é uma “campânula” centrada em , decaindo rapidamente e ficando cada vez mais próximo de
sem nunca tocar.
– No ponto
– Para valores de
– O gráfico é uma “campânula” centrada em
Passo 6
No esboço final, marque o ponto
, desenhe a curva simétrica que cai rapidamente para baixo de 1 e aproxima-se de 0 quando
, e indique a assíntota horizontal
.
Resposta
O gráfico de é uma curva em forma de campânula, simétrica em relação ao eixo
, com pico em
e que decai rapidamente para 0 conforme
, tendo assíntota horizontal
.