Dada as funções seguintes, classifique-as em: I) injetora III) bijetora II) sobrejetora IV) não é injetora nem sobrejetora d)
Passo 1
Temos a função
Queremos usar os conceitos de injetora e sobrejetora para classificá-la.
Passo 2
No trecho x \le 1, definimos f_1(x)=4 - x^2. É uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,4). Para x→−∞, f_1(x)→−∞; em x=0, f_1(0)=4; em x=1, f_1(1)=3. Assim, o alcance de f_1 é (−∞,4].
Ainda nesse trecho, f_1 é crescente em (−∞,0] e decrescente em [0,1], ou seja, valores entre 3 e 4 ocorrem duas vezes (por exemplo f_1(±√0{,}5)=3{,}5). Logo, f_1 não é injetora.
Ainda nesse trecho, f_1 é crescente em (−∞,0] e decrescente em [0,1], ou seja, valores entre 3 e 4 ocorrem duas vezes (por exemplo f_1(±√0{,}5)=3{,}5). Logo, f_1 não é injetora.
Passo 3
No trecho x>1, definimos f_2(x)=x2−6x+8=(x−3)2−1. É uma parábola voltada para cima com mínimo f_2(3)=−1. Em x→1^+, f_2(x)→3. Então, à medida que x varia em (1,∞), f_2 varia de 3 até −1 e depois até +∞, fornecendo o alcance [−1,∞).
Unindo os alcances de f_1 e f_2, temos
Unindo os alcances de f_1 e f_2, temos
Isso mostra que para todo y∈ℝ existe x∈ℝ com m(x)=y, ou seja, m é sobrejetora.
Passo 4
Como já vimos que m não é injetora (devido ao comportamento de f_1) mas cobre todo ℝ, concluímos que m é sobrejetora, sem ser injetora.
Resposta
II) sobrejetora