Dada g(x, y, z)=2 z^3-3 x^2 z-3 y^2 z, qual é a expressão de gx x+gy y+gz z ?

Passo 1

O enunciado pede a soma das segundas derivadas parciais de g, isto é o laplaciano g_{xx}+g_{yy}+g_{zz}. Vamos calcular cada uma delas.

Passo 2

Para g_{xx}: primeiro encontramos g_x. Como g(x,y,z)=2z3-3x2z-3y^2z, temos g_x=∂/∂x(2z3-3x2z-3y^2z)=-6xz. Derivando de novo em x, g_{xx}=∂/∂x(-6xz)=-6z.

Passo 3

Para g_{yy}: de modo análogo g_y=∂/∂y(2z3-3x2z-3y^2z)=-6yz e portanto g_{yy}=∂/∂y(-6yz)=-6z.

Passo 4

Para g_{zz}: g_z=∂/∂z(2z3-3x2z-3y2z)=6z2-3x2-3y2 e g_{zz}=∂/∂z(6z2-3x2-3y^2)=12z.

Passo 5

Somando tudo: g_{xx}+g_{yy}+g_{zz} = -6z + (-6z) + 12z = 0.

Resposta

0

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