Sejam f: X R, a in X^prime. Se lim x a f(x) existe, então f é limitada numa vizinhança de a, isto é, existem de0 e c>0 tais que x in X, 0<|x-a|.

Passo 1

Temos uma função real f definida em X e um ponto a que é ponto de acumulação de X, e sabemos que limxto af(x) existe. O conteúdo aqui é definição de limite de função real e vamos precisar usar a definição ε–δ e a desigualdade triangular.

Passo 2

Como limxto af(x) existe, existe um número real L tal que, para ε=1, há um δ>0 satisfazendo
se xin X,;0<|x-a|ã

Passo 3

Aplicamos a desigualdade triangular para estimar |f(x)|: temos
|f(x)|=|f(x)-L+L|<=|f(x)-L|+|L|

Passo 4

Como |f(x)-L|<1 sempre que 0<|x-a|<δ, obtemos
|f(x)|<1+|L|
Basta então definir c=1+|L|.

Resposta

Escolhendo δ>0 conforme a definição de limite para ε=1 e c=1+|L|, garantimos que para todo x em X com 0<|x−a|<δ vale |f(x)|≤c, ou seja, f é limitada numa vizinhança de a.

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