Sejam
. Se
existe, então
é limitada numa vizinhança de
, isto é, existem
e
tais que
.
Passo 1
Temos uma função real f definida em X e um ponto a que é ponto de acumulação de X, e sabemos que
existe. O conteúdo aqui é definição de limite de função real e vamos precisar usar a definição ε–δ e a desigualdade triangular.
Passo 2
Como
existe, existe um número real
tal que, para ε=1, há um δ>0 satisfazendo
Passo 3
Aplicamos a desigualdade triangular para estimar |f(x)|: temos
Passo 4
Como |f(x)-L|<1 sempre que 0<|x-a|<δ, obtemos
Basta então definir
.
Resposta
Escolhendo δ>0 conforme a definição de limite para ε=1 e c=1+|L|, garantimos que para todo x em X com 0<|x−a|<δ vale |f(x)|≤c, ou seja, f é limitada numa vizinhança de a.