Dada uma sequência decrescente
de conjuntos compactos não vazios, mostre que existe pelo menos um número real que pertence a todo os
.
Passo 1
A questão dá uma sequência decrescente de conjuntos compactos não vazios em ℝ, ou seja, temos
e pede para mostrar que
.
Vamos usar que compactos em ℝ são sequencialmente compactos e fechados.
e pede para mostrar que
Vamos usar que compactos em ℝ são sequencialmente compactos e fechados.
Passo 2
Como cada
não é vazio, escolhemos um ponto
. Assim obtemos uma sequência
contida em
. Mas
é compacto, logo pelo critério sequencial existe uma subsequência
que converge para algum
.
Passo 3
Agora, para um índice fixo
, observe que sempre que
temos
.
Como é fechado, o limite dessa subsequência também pertence a
. Logo
.
Como
Passo 4
Como a escolha de
foi arbitrária, concluímos que
.
Isso prova que a interseção de todos os não é vazia.
Isso prova que a interseção de todos os
Resposta
Existe pelo menos um número real
que pertence a todos os conjuntos
.