Dada uma sequência decrescente X1 supset X2 supset ldots supset Xn ldots de conjuntos compactos não vazios, mostre que existe pelo menos um número real que pertence a todo os Xn.

Passo 1

A questão dá uma sequência decrescente de conjuntos compactos não vazios em ℝ, ou seja, temos
X1 supset X2 supset cdots supset Xn supset cdots
e pede para mostrar que
capn=1^infty Xn neq emptyset.
Vamos usar que compactos em ℝ são sequencialmente compactos e fechados.

Passo 2

Como cada Xn não é vazio, escolhemos um ponto xn in Xn. Assim obtemos uma sequência (xn)n=1^infty contida em X1. Mas X1 é compacto, logo pelo critério sequencial existe uma subsequência (xnk) que converge para algum x in X1.

Passo 3

Agora, para um índice fixo m, observe que sempre que nk >= m temos
xnk in Xnk subset Xm.
Como Xm é fechado, o limite dessa subsequência também pertence a Xm. Logo x in Xm.

Passo 4

Como a escolha de m foi arbitrária, concluímos que
x in capn=1^infty Xn.
Isso prova que a interseção de todos os Xn não é vazia.

Resposta

Existe pelo menos um número real x que pertence a todos os conjuntos Xn.

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