Mostre que se
são fechados, então
é fechado. O que dizer da reunião infinita de fechados?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a união finita de conjuntos fechados é fechada, usando conceitos de teoria de conjuntos e topologia básica (complemento, abertos e fechados). Vamos precisar usar a lei de De Morgan e o fato de que complemento de fechado é aberto e interseção finita de abertos é aberta.
Passo 2
Para provar que
é fechado, notamos primeiro que cada
é fechado, logo seu complemento
é aberto. Pela lei de De Morgan temos
Como a interseção finita de conjuntos abertos continua sendo aberta, o lado direito é aberto. Portanto o complemento da união finita é aberto, o que implica que a união finita é fechada.
Passo 3
No caso de união infinita, o argumento falha porque a interseção de infinitos conjuntos abertos nem sempre é aberta. Assim a reunião de infinitos fechados pode não ser fechada. Por exemplo, em
considere
Cada
é fechado, mas
não contém o ponto-limite
, logo não é fechado.
Resposta
A união finita de conjuntos fechados é sempre fechada. Já a união infinita de conjuntos fechados não precisa ser fechada, como mostra o exemplo dos pontos
em
.