Mostre que se F1, F2, ldots, Fn são fechados, então F1 cup F2 cup ldots cup An é fechado. O que dizer da reunião infinita de fechados?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a união finita de conjuntos fechados é fechada, usando conceitos de teoria de conjuntos e topologia básica (complemento, abertos e fechados). Vamos precisar usar a lei de De Morgan e o fato de que complemento de fechado é aberto e interseção finita de abertos é aberta.

Passo 2

Para provar que F1cup F2cupdotscup Fn é fechado, notamos primeiro que cada Fi é fechado, logo seu complemento Xsetminus Fi é aberto. Pela lei de De Morgan temos
Xsetminusl(F1cup F2cupdotscup Fnr) =capi=1^nl(Xsetminus Fir)
Como a interseção finita de conjuntos abertos continua sendo aberta, o lado direito é aberto. Portanto o complemento da união finita é aberto, o que implica que a união finita é fechada.

Passo 3

No caso de união infinita, o argumento falha porque a interseção de infinitos conjuntos abertos nem sempre é aberta. Assim a reunião de infinitos fechados pode não ser fechada. Por exemplo, em R considere
Fn=1/n, n=1,2,3,dots
Cada Fn é fechado, mas
cupn=1^inftyFn=1,1/2,1/3,dots
não contém o ponto-limite 0, logo não é fechado.

Resposta

A união finita de conjuntos fechados é sempre fechada. Já a união infinita de conjuntos fechados não precisa ser fechada, como mostra o exemplo dos pontos 1/n em R.

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