Dada a hipérbole
(x-1)^24-(y+2)^29=1
determine o centro, as medidas dos semieixos real e imaginário (valores de a e b ), os vértices, os focos (lembre que c^2=a^2+b^2 ) e a excentricidade.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na equação da hipérbole que você tem:
(x-1)^24-(y+2)^29=1
Aqui, estamos lidando com uma hipérbole, que é um tipo de gráfico em forma de dois ramos. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender os conceitos de centro, semieixos real e imaginário (valores de a e b ), vértices, focos e excentricidade. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. A forma padrão da equação da hipérbole horizontal é:
(x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 = 1
Comparando com a sua equação, vemos que h = 1 e k = -2 . Então, o centro é em (1, -2) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de a e b , que representam os semieixos real e imaginário, respectivamente. Na equação padrão:
a^2 = 4 Rightarrow a = raiz4 = 2
b^2 = 9 Rightarrow b = raiz9 = 3
Então, a = 2 e b = 3 .

Passo 4

Com a = 2 e o centro (1, -2) , podemos determinar os vértices da hipérbole. Como a hipérbole é horizontal, os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo x:
Vértice 1: (1 + 2, -2) = (3, -2) é
Vértice 2: (1 - 2, -2) = (-1, -2) é

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = a^2 + b^2 :
c^2 = 4 + 9 = 13 Rightarrow c = raiz13
Os focos também estão ao longo do eixo x, a uma distância c do centro:
Foco 1: (1 + raiz13, -2)
Foco 2: (1 - raiz13, -2)

Passo 6

Por fim, vamos calcular a excentricidade e , que é dada por:
e = ca = raiz132
A excentricidade nos diz quão “esticada” está a hipérbole.

Resposta

  • Centro: (1, -2)
  • Semieixos: a = 2 e b = 3
  • Vértices: (3, -2) e (-1, -2)
  • Focos: (1 + raiz13, -2) e (1 - raiz13, -2)
  • Excentricidade: e = raiz132

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