Vale a regra do cancelamento para o produto interno? Isto é, se a cdot b=a cdot c e a neq 0, temos que b=c ?

Passo 1

Vamos entender a pergunta: estamos falando sobre o produto interno (ou produto escalar) de dois vetores. A questão é se, dado que a cdot b = a cdot c e que a não é o vetor nulo ( a neq 0), podemos concluir que b = c. Basicamente, queremos saber se dá para “cancelar” o vetor a das duas expressões para igualar b e c. Para resolver isso, vamos precisar entender como o produto interno funciona e quais são suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno. Para dois vetores a e b, o produto interno é definido por:
a cdot b = |a| , |b| cos theta
onde |a| e |b| são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles. Esse produto nos dá uma medida de quão “alinhados” os vetores estão um com o outro. Se o produto interno for zero, os vetores são ortogonais (perpendiculares).

Passo 3

Agora, vamos considerar a equação dada:
a cdot b = a cdot c
Podemos reorganizar essa equação subtraindo a cdot c de ambos os lados:
a cdot b - a cdot c = 0
Isso pode ser reescrito como:
a cdot (b - c) = 0
Aqui, vimos que o produto interno de a com a diferença entre b e c é zero.

Passo 4

A equação a cdot (b - c) = 0 significa que o vetor (b - c) é ortogonal a a. Em termos simples, isso quer dizer que a diferença entre b e c forma um ângulo de 90^circ com a.

Passo 5

Mas o que isso nos diz sobre b e c? O fato de que (b - c) é ortogonal a a não implica necessariamente que b = c. Pode ser que b e c sejam diferentes, mas que essa diferença seja exatamente um vetor que é perpendicular a a. Portanto, mesmo que o produto interno seja o mesmo, b e c podem não ser o mesmo vetor.

Resposta

Não, a regra do cancelamento não vale para o produto interno. Mesmo que a cdot b = a cdot c e a neq 0, não necessariamente temos que b = c.

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