Vale a regra do cancelamento para o produto interno? Isto é, se
e
, temos que
?
Passo 1
Vamos entender a pergunta: estamos falando sobre o produto interno (ou produto escalar) de dois vetores. A questão é se, dado que
e que
não é o vetor nulo (
), podemos concluir que
. Basicamente, queremos saber se dá para “cancelar” o vetor
das duas expressões para igualar
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como o produto interno funciona e quais são suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno. Para dois vetores
e
, o produto interno é definido por:
onde
e
são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores, e
é o ângulo entre eles. Esse produto nos dá uma medida de quão “alinhados” os vetores estão um com o outro. Se o produto interno for zero, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Passo 3
Agora, vamos considerar a equação dada:
Podemos reorganizar essa equação subtraindo
de ambos os lados:
Isso pode ser reescrito como:
Aqui, vimos que o produto interno de
com a diferença entre
e
é zero.
Passo 4
A equação
significa que o vetor
é ortogonal a
. Em termos simples, isso quer dizer que a diferença entre
e
forma um ângulo de
com
.
Passo 5
Mas o que isso nos diz sobre
e
? O fato de que
é ortogonal a
não implica necessariamente que
. Pode ser que
e
sejam diferentes, mas que essa diferença seja exatamente um vetor que é perpendicular a
. Portanto, mesmo que o produto interno seja o mesmo,
e
podem não ser o mesmo vetor.
Resposta
Não, a regra do cancelamento não vale para o produto interno. Mesmo que
e
, não necessariamente temos que
.